질문:https://arca.live/b/math/63545325?p=1

일단 임의의 벡터장 F가 다음을 만족시킨다고 가정하자.

그렇다면 복소함수 f를 다음과 같이 정의 할 수 있음.

이제 이 함수 f는 정의역 내에서 정칙함수라는 것을 알 수 있음. 위의 가정에서 코시-리만 방정식이 바로 튀어나오거든.

이제 경로 γ에 대한 벡터장 F의 선적분은 아래와 같이 쓸 수 있음.

마찬가지로 복소평면 위의 경로 γ_C를 아래와 같이 정의할 수 있음.

그렇다면 경로 γ_C에 대한 복소 경로 적분을 아래와 같이 쓸 수 있음.

이제 해당 식으로부터 아래등식을 얻을 수 있음.

이는 아까 위에서 봤던 F의 경로 적분식에 허수 i를 곱해준 것과 같음. 즉, 아래 식이 성립함.

그런데 복소해석에는 유수정리라는 정리가 존재함

간단히 말해서 단일폐곡선에 대한 정칙함수의 적분값은 폐곡선의 형태와 상관없이 폐곡선 내의 특이점에 의해 완전히 결정된다는 말임.

이제 단일폐곡선 C에 대한 F의 경로적분이 주어졌다고 하자. 그렇다면 우리가 지금까지 했던걸 이용해서 아래 등식을 만들 수 있음.

그런데 정의에 따라 f(z)는 정칙함수임. 따라서 유수정리에 의해 우변의 값은 C의 선택과 관계없이 폐곡선 내부의 특이점에 의해 완전히 결정됨. 따라서 좌변 또한 폐곡선 내부의 특이점에 의해 완전히 결정됨을 알 수 있음.

이제 문제를 보자. 

아마 문제에서 제시된 함수는 이거였을거임.

이 함수는 처음에 말한 조건을 만족시키고, (x,y)=(0,0)일때 특이점을 가짐. 문제에서 말한 "정의되지 않은 영역"은 아마 이 특이점을 가리키는 것일 가능성이 높음.

이제 유수정리에 의해, 해당 함수의 단일폐곡선에 대한 적분값은 이 특이점에 의해 완전히 결정됨.

의문을 가졌던 부분은 아마 이 부분이었을임. 적분영역이 변하면 적분 값도 달라질텐데 어떻게 그것이 가능하냐고 생각했을거임. 하지만 적분 값을 결정하는건 특이점이기 때문에 영역의 모양이나 크기는 상관없음. 그래서 문제에서 적분영역을 원으로 바꿔서 풀라고 한거고. 사각형이든 원이든 특이점만 포함한다면 적분 값은 항상 똑같을테니까.

복소해석을 제대로 배운 적은 없어서 설명이 잘 됐는진 모르겠는데, 어쨋든 도움이 되었길.