https://arca.live/b/math/81824571
L(n+1)=L(n)^2/4 -2, L(1)=4

f(x)=x^2/4 -2가 f([-2,2])⊂[-2,2]이고
[-2,2] 위에서 |f'|<1이면(*) x∈[-2,2]에 f를 계속해서 씌우면 이는 수렴한다

L(3)∈[-2,2]이므로 위의 정리를 쓰면 수렴성을 보일 수 있고
x=x^2/4 -2의 근을 [-2,2] 위에서 구하면 수렴값 2-2√3도 바로 구해짐

이 정리는 평균값 정리와 약간의 해석학(위상) 지식을 써서 증명함
(증명해보면 재밌음)



 

수열 문제답게 다른 방식으로도 풀어보겠음

1.
처음 몇 항을 계산해보면 x=x^2/4 -2의 근 중 하나인 α=2-2√3로 수렴함을 짐작할 수 있음
이제 a(n)=L(n)-α로 두고 점화식을 바꿔적으면
a(n+1)=(a(n)+α)^2/4 -2-α
=a(n)^2/4 +α/2 a(n)
=a(n)(a(n)/4 +α/2)

이제 어떤 0<r<1인 r이 있어서 c(n)=(a(n)/4 +α/2)의 절댓값이 r보다 작음을 보이면 끝남(*)
(이걸 보이면 a(1)에다가 절댓값이 r보다 작은걸 계속 곱해서 0으로 간다는걸 보이고 L(n)이 α로 가는걸 보이게됨)

2.
대충 r=0.9로 두고 진행함
y=x/4 +α/2에서 -r<y<r인 것은 곧
-4r-2α<x<4r-2α와 같음
넉넉하게 근사해서 -0.67<a(n)<6.52이면 |c(n)|<0.9가 됨

3.
a(n+1)=L(n)^2/4 -2-α≥-2-α=-4+2√3>-0.54
a(1)=2+2√3
따라서 a(n)>-0.67은 항상 성립

4.
a(1)=2+2√3=5.46...<6.52
a(k)<6.52라면 2에 의해 |a(k)|<6.52
2,3에 의해 |c(k)|<0.9이므로
a(k+1)≤|a(k)||c(k)|<6.52×0.9<6.52
귀납적으로 항상 a(n)<6.52가 성립

마지막으로 1,2에 의해 L(n)이 α로 수렴함이 보여짐



(*) 1보다 작은 양수를 무한히 곱해도 양수로 수렴하는 일이 있다
단, |f'|는 1보다 작은 유계 r을 가지므로 이런 문제에서 벗어날 수 있다