P의 진리집합은 자연수 전체 무한집합에서 최대값인 수가 있는 집합이지 공집합이 아니야

반례: 가장 큰 자연수 a는 1이 아닌데 가장 큰 자연수이다.

P이면 Q이다. 
라는 명제가 거짓이려면 P를 만족하는 것들 중에 Q가 아닌 것이 존재해야 함. 
하지만 P를 만족하는 것 자체가 없으면 그러한 반례가 존재하지 않음.

가장 큰 자연수가 존재한다면 가장 큰 자연수는 1이다. 
이게 좀 더 formal한 명제인 것에는 동의함.
다만, 등식도 충분히 명제가 될 수 있음. 예를 들면 (1=2) 이런 것.

고등학교 때 두 조건 p, q에 대해 명제 (P->Q)가 참이라는 것과 p의 진리 집합 P가 q의 진리 집합 Q에 포함된다는 것이 서로 동치라고 가르칠 텐데, 그러면 저 위의 문장은 조건부의 진리 집합은 공집합이고 결론에 해당하는 진리 집합은 {1}이므로, 
제목의 말이 참이 된다는 뜻임.

1+1>1이 틀린건 어캐증명함?

그러므로 준 명제(제목)는 참.

정확하게 하자면, 명제로서는 서로 다르지만, 서로 같은 의미를 지니는 명제임. 즉, 서로 동치인 명제임.


'a는 b이다.' 를 보다 수학적으로 표현하고자 하는 것이  'x는 a이면 x는 b이다.' 는 표현이라서 서로 동치인 명제로 보는 게 타당함. 

그리고 더 구체적으로 수학적으로 표현하면, '모든'과 '어떤' 이라는 조건도 써 줘야 하는데, (그리고 보통 '모든'은 생략함.)


'a는 b이다.'는  '모든 x에 대해, x는 a이면 x는 b이다.' 가 됨.

그리고 
'모든 x에 대해, (x는 a이면 x는 b이다.)'라는 명제와 
'x는 a인 x가 존재하면 x는 b이다.' 가 서로 동치가 됨. 

사실 두 번째 문장은 좀 더 수학적으로 다듬을 필요가 있는데, 다듬으면 
'x는 a인 x가 존재하면, (모든 y에 대해서, (y가 a이면 y는 b이다.))' 로 다듬어야 함.


따라서 [가장 큰 자연수는 1이다]랑 [가장 큰 자연수가 존재한다면 그것은 1이다] 는 서로 동치인 명제가 됨.

(두 문장이 같다는 것은 정말 말 그대로 문장이 같아야 함. 
예를 들어, 
'모든 x에 대해 x는 짝수이면서 자연수이다.' 와 '모든 x에 대해 x는 자연수이면서 짝수이다.' 는 서로 다른 명제임. 하지만 동치이기에 논리 전개를 할 때 서로 바꿔서 쓸 수 있음.)