간단한 (중학교) 수학 문제

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왜 부활함

간단한 (중학교) 수학 문제

익명_GABBA (143.248)

추천 0 비추천 0 댓글 33 조회수 721 작성일 2019-11-04 03:12:56

https://arca.live/b/child/836133

삼각형 ABC에 대해서, 각 A의 이등분선이 선분 BC의 중점을 지날 때, 삼각형 ABC가 이등변삼각형이 된다는 것을 증명해라.

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 03:39:12 삭제 수정 답글

제2코사인법칙을 끼얹으면 됨

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익명_GABBA (143.248)

2019-11-04 03:41:34 삭제 수정 답글

제 2 코사인 법칙 쓰려면 두 변과 그 사이의 끼인각을 알아야 되는걸로 아는데, 좀 더 설명 부탁이요..

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 03:57:30 삭제 수정 답글

ㅈㅅ 잠시 착각함.
결국 다른식으로 함.
편의상 BC 중점을 D로 둠.
편의상 각 BAD를 a, BD의 길이를 x로 둠.

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 03:58:45 삭제 수정 답글

BD = DC니까
D를 중심으로 하는 반지름 x짜리 원을 그어보자.
그러면 B,C는 원 위에 있음.
그리고 AB와 원은 두점에서 만남

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 04:00:22 삭제 수정 답글

왜 두점이냐?
원과 직선의 관계: 안만나거나 한점에서 접하거나 두점에서 만나거나 이렇게 3가지잖아
근데 B가 원 위에 있으니 일단 한 점 이상은 만남.
근데 접한다고 치면 ABD가 90도가 되면서 BDC가 180도보다 작아짐

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익명_GABBA (143.248)

2019-11-04 04:09:37 삭제 수정 답글

접한다고 하면, BDC가 왜 180도 보다 작아지나요?
(일단 접해서 모순이 생긴다고 하면  선분 AB보다는 직선 AB와 두 점에서 만나겠네요.)

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 04:12:27 삭제 수정 답글

삼각형 내각 합 180도
BAD는 양수
ABD는 90도
그러면 BDA는 90도보다 작음.
그리고 아래 쓴 것과 같은 방법을 쓰면 C가 올 수 있는 위치는 B'밖에 없는데, 이러면 BDC는2xBDA니까 180도보다 작아짐.

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익명_GABBA (143.248)

2019-11-04 04:24:57 삭제 수정 답글

*수정됨

B를 선분 AD에 대해 선대칭시키는 것 자체는 원과의 교점의 개수에 상관은 없으니, 순환 논증은 아닌 듯 한데, (그리고 각 BDA랑 각 ADC가 같다는 것을 이미 증명하셨다고 본 듯 하네요. 사실 이거 증명하셨으면 삼각형 ABD랑 ACD가 ASA 합동이 되어서 끝나긴 합니다만..)

그러면 C가 B'이 된다는 부분을 직선 AB와 원과의 교점이 2개라는 성질을 쓰지 않아도 되는지 확인해야 겠네요.

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 04:30:00 삭제 수정 답글

ㅇㅇ 그냥 선대칭하는 이야기를 두번 쓰기 싫어서 그렇게 말한거고, 단순 선대칭이니 순환논증은 아님.
그리고 AB가 원하고 접할때 BDA하고 ADC가 같아지는걸 바로 쓴거는 AC도 원하고 접하기 때문임. 그래서 BDC가 180도보다 작아져서 AB가 원하고 접하는게 불가능하다라고 말하고 싶은거고.
실제로는 두 점에서 만나는 경우를 테스트하니까 BDA하고 ADC가 같은걸 깔고가지는 않음.

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익명_GABBA (143.248)

2019-11-04 04:32:49 삭제 수정 답글

직선 AB가 원하고 접하면 직선 AC도 원하고 접하나요?

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 04:36:05 삭제 수정 답글

AD에 대해서 B를 선대칭한 점을 B'라고 하면 B'는 직선 AC위에 놓임. 따라서 직선 AC는 직선 AB'가 됨. 그러면 AB'D는 직각이니까 AB'도 원에 접할거고.

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익명_GABBA (143.248)

2019-11-04 04:45:30 삭제 수정 답글

각 AB'D가 직각이 된다는 부분에서 의문인데,
선분 BB' 위에 점 D가 있다고 보시는 건가요?

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 04:49:55 삭제 수정 답글

위에서 말했듯이 AB가 원에 접한다면 C가 될 수 있는 점은 B' 하나밖에 없는데, D가 BC의 중점이니까 BB'의 중점도 되겠지.

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익명_GABBA (143.248)

2019-11-04 04:52:56 삭제 수정 답글

일단 B'은 선분 AC 위에 존재하고, 원 위에도 존재해야 하는데, 
직선 AC와 원의 교점이 2개일 수 있지 않나요? (그러면 여기서 B'의 후보가 2개가 되긴 하네요.)

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 04:54:06 삭제 수정 답글

*수정됨

그러면 AB도 원과 두곳에서 만나야함. AB가 원과 한곳에서 만나는데 AC가 원과 두곳에서 만날 수는 없음.
근데 잘 생각해보면 알겠지만, AB가 원에 접하면 ABDC가 만드는건 연처럼 생긴 사각형밖에 없음. 그걸 좀 길게 쓴 것 뿐임.

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익명_GABBA (143.248)

2019-11-04 05:01:22 삭제 수정 답글

근데 AB가 원과 한곳에서 만나는데 AC가 원과 두 곳에서 만날 수는 없다는 것이 처음 시작할 때 증명하려던 건데... 일단 직선 AB와 직선 AC가 직선AD에 대해 지금 선대칭이긴 한데, 그러면 다시 B'이 왜 C가 돼야 하는지를 물어보고자 합니다.

(일단, 직선 AB와 직선 AC가 동시에 원에 접할 수는 없으니 적어도 한 직선은 원과 두 점에서 만나겠네요.)

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 04:03:06 삭제 수정 답글

여튼 그러면 B가 아니면서 원을 지나는 점을 X라고 하자.
그리고 AD에 대해서 B,X를 대칭시킨 점을 B',X'라고 하자.
BAD=DAC니까 C가 올 수 있는 점은 B',X' 둘 중 하나가 됨

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익명_GABBA (143.248)

2019-11-04 04:35:32 삭제 수정 답글

각 BAD=각 DAC이면 B를 AD에 선대칭시킨 점은 왜 C가 되나요?
(삼각형 BAB'이 이등변삼각형인 것까지는 알겠습니다.)

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 04:38:33 삭제 수정 답글

지금 대댓글을 단 시점에서는 C가 B'나 X' 둘 중에 하나라는것까지만 나온 상태. 아래 댓글에서 B'는 C가 될 수 있다가 나오고, 그 다음에 X'는 C가 될 수 없다가 나옴.

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 04:07:49 삭제 수정 답글

그러면 일단 B'를 테스트해보자.
일단 BAB'는 이등변삼각형임.
따라서 얘는 답으로 쓸 수 있음.
그리고 한가지 중요한 성질도 나오지. BDA가 직각이라는거.

그러면 X'를 테스트해볼까?
일단 각 XDA는 직각이 아님.
그게 직각이면 B=X라는건데, 근데 원하고 AB는 두점에서 만나잖아? 그러니까 XDA가 뭔지는 몰라도 그게 직각일 리는 없음. 따라서 각 BDX'는 180도가 아님.

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 04:09:30 삭제 수정 답글

*수정됨

그러면 이제 B와 X'의 중점에 D가 올 수 없게 되니까 얘는 C가 아니라는걸 알 수 있음.
따라서 B'=C고, ABC는 이등변삼각형이고,
제발 순수기하는 피타고라스 정리를 증명할때 필요한거 빼고는 대학과정으로...는 이미 필수적인것만 있나..?
여튼 KMO 기하파트는 극혐이었음

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익명_GABBA (143.248)

2019-11-04 04:42:23 삭제 수정 답글

지금 증명 순서가 
(점 B를 직선 AD에 대해 선대칭한 점이 C이다.) -> (직선 AB는 반지름이 x이고 중심이 D인 원과의 교점이 2개이다.)  인가요?

(직선 AB는 반지름이 x이고 중심이 D인 원과의 교점이 2개이다.) ->(점 B를 직선 AD에 대해 선대칭한 점이 C이다.) 인가요?

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 04:44:48 삭제 수정 답글

*수정됨

당연히 후자죠...
교점이 2개인걸 보여서 C의 후보를 확 줄여버리고 하나씩 검증한다!

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익명_GABBA (143.248)

2019-11-04 03:45:58 삭제 수정 답글

참고로 글 작성 시점을 기준으로 제가 알고 있던 증명법은 2가지입니다.

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 04:52:39 삭제 수정 답글

계속 묻는걸 보면 처음보는 증명법인가보네?
노파심에 쓰는거지만 비난하는건 절대 아님 ㅇㅇ
이건 20대 말까지 버틴 기억의 파편을 모아서 만든거라 책에서 나오는거하고는 미묘하게 다를수 있음 ㅇㅇ

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익명_GABBA (143.248)

2019-11-04 04:54:49 삭제 수정 답글

말씀하신대로, 원을 그려서 선대칭을 써서 증명하는 것은 처음 보는 증명법이긴 합니다. (그래서 아마 꽤 기초적인 수준까지 질문할 것 같긴 합니다.)

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 04:56:07 삭제 수정 답글

*수정됨

ㅇㅋㅇㅋ
사실 난 중학교 수학을 좀 개판쳐서 어지간하면 고1수학으로 대체하려고 시도하는 경향이 있음.
저거만 봐도 원과 직선의 관계를 우려먹는거고

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래커형

2019-11-04 06:14:27 답글

각의 이등분선 정리를 쑤면 됨

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 06:26:23 삭제 수정 답글

*수정됨

앗... 아아....
이게 답이었구나....

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래커형

2019-11-04 06:34:19 답글

선분 AM에 평행하고 C를 지나는 선분을 그은 후 AB와의 연장선과의 교점을 C'라 하면 더이상의 자세한 설명은 생략한다

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익명_vTu21 (147.47)

2019-11-04 06:35:48 삭제 수정 답글

댕청잼...

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익명_uW51v (175.223)

2019-11-04 06:22:28 삭제 수정 답글

내접원쓰면 되는데 귀찮으니 생략

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익명_GABBA (143.248)

2019-11-04 09:54:30 삭제 수정 답글

내접원 쓰는 것도 흥미롭네요. 대충 어떤 식으로 하는 건가요?

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