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'정확히는'이라고 설명한 부분은 못 알아들어도 상관 없음. 

Q를 유리수 집합 (정확히는 integer ring의 quotient field)라고 하고, Q[x]를 유리계수 다항식으로 이루어진 집합(정확히는 polynomial ring)이라고 하자. 

이제, f(x)=x^2+1을 Q[x]의 원소라고 하자. 
이때, f(x)는 Q 위에서 기약다항식이다. ( f(x)를 나누는 유리계수 1차 다항식이 없음.)
A=f(x)*Q[x]={f(x)*g(x) : g(x)는 Q[x]의 원소} 라고 하자. 
그러면 임의의 Q[x]의 원소 g(x)에 대해, A*g(x)=g(x)*A=A가 성립한다.   
참고로 A*g(x)={h(x)*g(x) : h(x)는 A의 원소}이고, A가 f(x)를 원소로 갖는 가장 작은 ideal이라는 내용.

이제, Q[x]를 A로 나눈다. (좀 더 친숙하게 설명하면, Q[x] 위에서 mod (x^2+1)을 취해줘서, 두 다항식이 x^2-1로 나눈 나머지가 같으면 서로 같은 걸로 취급한다고 생각하면 됨. 보통 Q[x]/A로 표기함.) 
B=Q[x]/A라고 하자. 그리고 여기서 x와 같은 것을 모아 놓은 녀석을 X라고 하자.   (정확히는 A+x)

예를 들면, B 위에서, X^3-1=-X-1, X^2+1=0,  X^4=1 가 성립한다. 

이제, B의 원소 X (좀 더 정확히는 A+x)는 Q[y]의 원소 y^2-1에 대해, y^2-1=0의 근이 된다. 
따라서 유리수체 Q에 대해, Q를 부분 집합으로 가지면서, x^2+1=0의 근을 원소로 가지는 더 큰 집합(field)이 존재한다. 


( Q[x]/A의 정확한 정의는 {A+g(x) : g(x)는 Q[x]의 원소}.    A+g(x)의 정의는 직관적이라서 바로 알 것이라고 생각함. 그리고 B 위에 다음과 같은 덧셈과 곱셈 연산 구조를 정의한 거임.
[A+g(x)] + [A+h(x)]= [A+g(x)+h(x)]
[A+g(x)] *[ A+h(x)] = [A+g(x)h(x)] 

그러면, B는 ring이 됨. 게다가, A는 기약다항식으로 generated 된 ideal이라서 principal ideal이 되고, B가 field(체)가 됨.)


전체적인 맥락은, Q[x] 위에서 mod (x^2+1)을 취한 구조 위에서 보면 x^2+1=0의 근이 존재한다. 는 소리임.
이제, 그 mod를 취한 구조가 집합론적으로 어떤 식으로 존재하는지 및 정의가 잘 되는지를 보면 되고, 그렇게 mod를 취한 구조가 덧셈, 곱셈이 잘 정의되고 분배법칙 잘 성립하는지 등을 보면 됨. 

이렇게 해서, x^2=-1을 만족하는 원소를 가지는 좋은 집합(정확히는 field)이 있고, 그 원소를 i라고 하면 된다.   (이제, 존재성을 증명했으므로 B={a+bi : a와 b는 유리수} 라고 간략하게 표기해도 됨. 이런 식으로 표기하면 B=Q[i]라고 표현하기도 함.)
 
대충 이 정도는 고등학교 때 배우고 오는 경우도 있다고 하더라. (ex : 5차방정식의 일반적인 근의 공식은 존재하지 않는다.)