V를 집합, K를 체, + : VxV->V 및 + : KxK -> K,   * : KxV ->V  라고 하자. (+와 *은 이항 연산) 

(체라는 말이 어색하면 그냥 유리수처럼 사칙연산과 분배법칙, 역원과 항등원이 잘 정의되는 집합이라고 생각하면 됨. 고등학교 수준에서는 그냥 유리수나 실수, 복소수 중 하나라고 생각해도 괜찮음. +는 벡터 끼리의 덧셈과 체의 원소 끼리의 덧셈.)

그러면 (V, K, *, +)가 다음의 성질을 만족할 때 V를 벡터 공간이라고 한다.

u, v, w는 V의 원소, a, b는 K의 원소

1) 모든 u, v에 대해 u+v=v+u가 성립한다. (뎃셈에 대한 교환 법칙)

2) 모든 u, v, w에 대해 (u+v)+w=u+(v+w)가 성립한다. (덧셈에 대한 결합법칙)

3) 모든 a, b, u에 대해 a*(bv)=(ab)*v가 성립한다. (스칼라곱에 대한 결합법칙)

4) K의 곱셈에 대한 항등원 1에 대해, 모든 u에 대해, 1*u=u가 성립한다. (스칼라 항등원)

5) 어떤 벡터 0이 존재해서, 모든 u에 대해, u+0=0+u=u이 성립한다.  (덧셈에 대한 항등원의 존재성)

6) 모든 u에 대해 어떤 v가 존재해서, u+v=v+u=0 이 성립한다.  (덧셈에 대한 역원의 존재성)

7) 모든 a, b, u에 대해, a*u+b*u=(a+b)*u가 성립한다. (분배법칙)

8) 모든 a, u, v에 대해, a*(u+v)=a*u+a*v가 성립한다. (분배법칙)

벡터 공간 V에 대해, V의 원소를 벡터라고 한다.  (linear한 연산에 대해 닫혀 있고, 각 연산이 좋은 성질을 갖고 있음.)

간단한 예시 :

V={f(x) : f는 실수에서 실수로 가는 함수}. K를 실수(real field), +:VxV->V 는 (V의 원소 f, g에 대해 f+g=h라고 하면, 모든 실수 x에 대해, h(x)=f(x)+g(x) 라고 정의),

+:KxK->K는 우리가 아는 일반적인 덧셈.  *:KxV -> V는 (V의 원소 f, K의 원소 a에 대해, a*f=h라고 하면, 모든 실수 x에 대해 h(x)=a*f(x) 라고 정의)

그러면 V는 벡터 공간이 된다.  (벡터 덧셈에 대한 항등원과 역원 존재하고, 분배법칙, 결합법칙, 교환법칙 다 성립.)

그러면 여가서 한 가지 더 생각해 보자. 과연, V는 몇 차원 벡터 공간일까? 그리고 V의 기저(basis)는 어떻게 될까?