전제조건은 좌표평면이 뭔지만 알고 있으면 됩니다.
사실 여기서 기울기에 대해 모르시는 분은 정말 손에 꼽을 겁니다.
근데 왜 이 글을 쓰는가?
그야 쓸 글이 없어서죠ㅋ
쓸 글이 없어서 이런 글까지 쓰시는 양자역학 님...
이번에는 기울기에 대해 알아보고, 다음번엔 이걸 확장해서 미분에 대해 알아볼 것입니다.
뭐 진짜 별거 없어요.
기울기라는건 기울어진 정도를 숫자로 나타낸 거입니다.
가장 오른쪽에 있는 로이가 가장 왼쪽에 있는 로이보다 더 허리가 꼿꼿하죠?
이렇게 허리가 더 꼿꼿하게 펴져 있는걸 우리는 '기울기가 크다' 고 합니다.
하지만 단순히 크다와 작다로는 명확한 정보를 얻기 어려워요.
가령 숫자를 예시로 들자면, 1억은 큰 숫자일까요? 크다고 생각한다면, 1조를 가져와도 여전히 크다고 할 수 있을까요? 작다고 생각한다면, 0을 가져와도 여전히 작다고 할 수 있을까요?
이건 크다와 작다가 상대적인 개념이기 때문에 발생하는 문제입니다.
우리는 절대적인 개념이 필요해요.
이를 위해 필요한 것이, 바로 기울기를 정확한 숫자로 나타내는 것이죠.
그렇다면 어떻게 나타내는게 좋을까요?
답부터 말씀드리죠. 직선 상에 두 점을 찍은 뒤, 그 점간의 관계를 살펴보면 돼요.
그렇다면 그 관계를 어떻게 살펴볼까요?
여기에서 좌표평면이 나옵니다.
빨간 선과 파란 선이 있습니다.
허리가 꼿꼿할 수록 기울기가 큰 것이니, 여기선 빨간색 직선이 파란색 직선보다 기울기가 크다고 할 수 있죠.
여기서 얼마나 큰 지를 알아보는 가장 쉬운 방법은,
이렇게 위에서 아래로 정확하게 직선을 그은 다음, 그 점의 y좌표를 살펴보면 됩니다.
빨간 점은 대략 3.5 정도에, 파란 점은 대략 0.5 정도에 위치하고 있으므로, 기울기가 약 7배 가량 크다는걸 알 수가 있네요.
하지만 이걸로는 몇 배 큰지만 알 수 있지, 정확한 숫자를 알기가 어려워요.
이제 이걸 정확한 숫자로 나타내는 법을 배울 겁니다.
사실 위의 방법을 이용하는건 다음과 같은 과정을 거칩니다.
1. 두 직선이 만나는 점을 (0,0)에 위치시킨다
2. 두 점의 x좌표가 같도록 직선을 긋는다
3. y좌표를 통해 기울기의 크기를 알아본다
이 과정을 식으로 나타내면 기울기를 정확한 숫자로 나타내는 법을 알 수 있습니다.
(0,0)에 위치시켰다는 것은, 한 점을 고정했다는 거죠.
x좌표가 같도록 직선을 긋는다는 건, x좌표를 고정시켰다는 거죠.
결국 한 점과 x좌표를 고정시킨 후, y좌표를 통해 구한다는 것입니다.
x좌표를 고정시켰다는 건, x좌표를 일정한 값으로 놓은 다음 y좌표를 살핀다고 볼 수 있습니다.
결국 'x좌표에 대한 y좌표'를 구하는 셈입니다.
이걸 어떻게 수치화시킬까요? 간단해요. y좌표를 x좌표로 나눠주면 돼요.
왜일까요?
사실 나눈다는건, 분수에서 분모를 무조건적으로 1로 만들어주는 것과 같습니다.
9/3 = 3/1 이죠, 그리고 우리는 이걸 '3' 이라고 합니다.
즉, 분모를 1로 만든 다음 분자를 읽는게 나눗셈입니다.
그러니까, 위의 설명을 식으로 옮기면 y좌표/x좌표가 되는데, 이건 x좌표를 무조건적으로 1로 만든 다음 y좌표를 읽어준다는 얘기죠.
이렇게 하면 '기울기' 라는 것을 완벽하게 단 하나의 숫자만으로 나타내줄 수가 있어요.
즉, 직선이 (0,0)을 지난다는 전제 하에, 기울기를 구하는 공식은 다음과 같겠죠.
y좌표 / x좌표
한 점에 대한 정보를 알고 있으므로(0,0을 지난다는 사실을), 다른 한 점에 대한 정보를 알기만 하면, 기울기를 구할 수 있는 것이죠.
자로 물건의 길이를 잴 때, 한쪽 끝을 0에 맞추고, 다른 한쪽 끝을 읽잖아요? 마찬가지에요.
이제 (0,0)으로 고정하는 이유에 대해 알아봅시다.
위의 사진을 보면, 분명 파란색 직선의 기울기가 빨간색 직선에 비해 큽니다.
하지만 앞에서 했던 대로 직선을 긋고 y좌표를 살펴 보았는데, 빨간색이 더 위에 있네요?
이런 모순을 방지하기 위해, 직선을 일괄적으로 (0,0)에 고정시키는 겁니다.
근데 (0,0)에 고정시키려고 하는데, 문제가 있네요?
종이에 이미 직선이 그어져서 선을 움직이려면 지우개로 지워야 하네요?
또 지운 다음에 똑같은 직선을 긋는다는 보장이 없습니다.
그렇다면 어떻게 해야할까요?
답은 수식을 통해 한 점을 (0,0)으로 옮겨 주면 됩니다.
가령 직선 위에 있는 한 점이 (2,3)이고 다른 한 점이 (4,5)라면, (2-2,3-3)을 해서 (0,0)으로 만들어 주면 됩니다.
그런데 (4,5)는 그대로네요? 이러면 뭔가 이상하죠? 이 점은 아직 수식으로 안 옮겨줬기 때문이에요. 그러니까 다른 한 점도 똑같은 숫자를 빼면 되죠.
그렇다면 (4-2,5-3), 즉 (2,2)가 되겠네요.
위의 공식을 사용하면 기울기는 1입니다.
왜 숫자를 단순히 빼기만 했는데 옮겼다고 하는걸까요?
이 그림을 참조하시면 이해하시기 더 용이할 겁니다.
이제 이걸 종합해서 일반화해 보죠.
1. 두 점을 잡는다
2. 한 점을 (0,0)으로 옮겨 준다 (직선도 같이)
3. 다른 한 점의 y좌표를 x좌표로 나눠준다
그니까 한 직선 상에서 한 점이 (a,b) 이고 다른 한 점이 (p,q) 이면
2의 과정에 의해 다른 한 점은 (p-a,q-b) 가 됩니다.
이제 3의 과정을 거치면, (q-b) / (p-a) 가 되는거죠.
'에이 그냥 공식 외우면 될 거를 왜 굳이 이렇게까지 해요?'
네 맞아요, 사실 기울기는 그냥 공식 외우기만 하면 됩니다.
하지만 이 과정을 알면 좀 더 쉽게 다가갈 수 있지 않을까...요?
(개소리 집어쳐!)
...
네 사실 저도 이렇게 안 배웠습니다
쓰는데 2시간 걸렸네요
쓸 데 없는 데에다가 시간낭비 오지게 했네 ㅋㅋ
