만약, +라는 것이 함수라는 것이 와 닿지 않으면, +를 다음과 같이 생각해 볼 수 있다.

a+b를 +(a, b) 로 쓸 수 있다면,

(a+b)+c=+(+(a, b), c) 

a+(b+c)=+(a, +(b, c)) 

라고 쓸 수 있다. 

혹시 함수의 정의를 생각해서 (정의역의) 원소 1개에 따라 (공역의) 원소 1개가 대응되어야 한다고 생각한다면, 

(a, b)라는 순서쌍을 하나의 원소로 생각할 수 있다. 

다만, 고등학교나 중학교 때는 함수를 합성할 때는 두 함수의 정의역과 치역이 서로 잘 맞아 떨어져야만 함수의 합성으로 본다. 

그런 경우는, 이제 다음과 같이 생각할 수 있다. 

우리는 +와 | |라는 함수를 갖고 새로운 함수 g=(+, | |) 를 생각할 수 있다. 예를 들면, g(1, 2, 3)=(+(1, 2), |3|)=(3, 3)이다. 

그리고 이러한 g의 치역은 +의 정의역의 부분집합이므로 +와 g를 다시 합성할 수 있다. 즉, f=+ºg 라는 새로운 함수를 생각할 수 있는 것이다. (그러면 f(1, -2, 3)=+(g(1, -2, 3))=+(+(1, -2), |3|)=+(-1, 3)=2 이다.)

참고로, 저기서 g의 | | 부분을 그냥 항등함수(함숫값과 입력값이 같은 함수)로 바꿔도 된다. 

그러면, 자연스럽게 (a+b)+c 라는 연산을 함수의 합성으로 생각할 수 있다. 

우리는 초등학교 때부터 함수라는 개념을 활용했고, 함수의 합성, 즉 규칙의 연속적인 적용까지도 자연스럽게 사용했던 것 같다.