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이제 뉴턴역학이 거의 다 끝나감. 이번에는 뉴턴역학에서 여러 입자의 운동을 기술하는법을 보겠음. 사실 그냥 각각의 입자에 역학(1),(2)에나온 공식들 때려박은뒤 합치면 되는 간단한 내용이지만 어쨌든 짚고 넘어감.
상술한대로 뉴턴역학에서 여러 입자의 취급은 매우 단순함. 먼저 입자를 구분하기위해 1, 2, ... ,i, ..., N 으로 번호를 붙여줌. 그리고나면 각각의 입자에 상응하는 물리량에 마찬가지로 번호를 붙여줌. 그러면 뉴턴의 법칙을
(1.20)
로 쓰게됨. 여기서 한가지 주의할점은 이제 입자간의 상호작용도 고려해야 한다는거임. 예를들어 전자 여러개를 한곳에 억지로 몰아넣으려고 하면 서로 밀어내거나 하듯이 입자간에 힘을 주고받는것까지 포괄해서 힘을 분석해야됨. 그러면 힘을
(1.21)
로 분리할 수 있음. 시그마는 수열의 합 이딴거 할때 이미 많이 봐서 익숙할테니 따로 설명 안하겠음. 우변에서 첫번째항은 입자간에 작용하는 힘, 그리고 두번째항은 외부에서 작용하는 힘임. 물론 입자가 스스로한테 힘 작용을 할수없으니 i랑 j가 같지 않다는 조건이 붙어줘야함.
근데 생각해보면 i나 j나 똑같은 수열에서 뽑은 숫자니까
(1.22)
이런식으로 고쳐 쓸 수 있음. 이제 여기서 한가지 짚고넘어갈 게 있음. 내가 공을 던진다고 치면, 내가 던지는 힘이 외부힘인데 공이 날아가는 움직임은 공 내부의 원자들끼리 어떻게 상호작용을 하는지랑 상관이 없어야됨.
그렇기때문에 여러 입자로 이루어진 묶음에 대해 작용하는 힘의 총량에서 입자간의 상호작용이 사라져야됨. 이걸 충족시키는 방법이 뉴턴의 제3법칙임. 무슨말이냐면 입자 i가 j에 작용하는 힘과 j가 i에 작용하는 힘의 크기가 같고 방향이 같으면, 즉 
이면
(1.23)
그러면 상호작용을 나타내는 항이 통째로 사라지므로 문제가 해결됨.
다음으로, 입자들의 질량의 합을 정의해보면
(1.24)
로 표현할 수 있음. 그리고 이 총 질량을 이용해서 무게중심을 정의하면
(1.25)
로 표현됨. 그럼 이제 (1.24)랑 (1.25)에서 정의된 물리량을 가지고 뉴턴 제2법칙을 계 전체에 적용할 수 있음.
(1.26)
이게 중요한 이유는 상술한것같은 여러 입자로 이루어진 물체를 단일 입자라고 보고 뉴턴역학을 적용할때 제일 중요한건 안에 뭐가 들었느냐가 아니라 그냥 무게중심이 어디고 전체 무게가 뭔지만 알면 된다는거임.
어쨌든 일단 입자가 여러개라도 뉴턴 2법칙이 적용되는걸 확인했으니 다음은 운동량이 어떻게 적용되는지 체크함. 운동량의 합도 힘의 합처럼
(1.27)
이렇게 쓸 수 있음. 이 총 운동량의 시간미분은 (1.26)을 운동량의 관점으로 다시 서술한거랑 같음.
(1.28)
이라는 결과를 쉽게 도출할 수 있음. 따라서 외부힘이 0일때 계의 선형 운동량이 보존되는걸 확인할 수 있음.
위와 비슷하게 각운동량도 숫자 붙여주고 합해서 총 각운동량을 정의할 수 있음.
(1.29)
근데 이걸 시간미분하면
(1.30)
그래서 (1.13)에서 봤던 형태에 꼽사리 항이 하나 끼어있는 모습이 되어버림. 여기서 이 꼽사리항이 0이 되는 경우는 힘의 작용방향이 (r_i - r_j)와 평행인 경우에만 적용됨. 이 조건을 만족하는 예로는 중력을 들 수 있음. 꼽사리항이 0이면 바로 각운동량의 보존법칙이 도출됨.
물론 꼽사리항이 0이 안돼도 각운동량의 총합은 보존됨. 예를들자면 로렌츠힘 같은 경우 힘의 방향이 r이랑 달라서 꼽사리 항이 0이 아닌데, 전자기장 자체가 각운동량을 가지고 있어서 총합을 따져보면 변화가 전부 상쇄됨. 전자기장의 운동량은 나중에 전자기력에 대해 쓰게되면 그때 설명함.
이제 마지막으로 여러 입자가 있을때 에너지가 어떻게 영향을 받는지 보겠음. 일단 운동량갖고 했던거랑 마찬가지로 운동에너지 식에 숫자 달아주고 합을 구하면
(1.31)
근데 이 식에 나오는 위치벡터를 두 파트로 분리할 수 있음.
(1.32)
다시말해 위에 꿈틀이 달린 위치벡터는 무게중심에서부터 입자 i까지의 거리를 나타내는 벡터임. 그럼 (1.31)도 두 파트로 분리가 됨.
(1.33)
여기서 첫번째 항으로 표현된 무게중심의 운동에너지가 바로 입자 묶음의 운동에너지이고, 두번째 항에 보이는 각각의 입자가 무게중심에서부터 멀어지고 가까워지는 움직임을 기술하는 항이 바로 내부 에너지임. 나중에 열역학파트에서 지겹게 볼거니까 추가 서술없이 걍 넘어감.
이제 운동에너지가 정의됐으니 단일입자랑 마찬가지로 에너지의 변화를 힘의 적분으로 나타낼 수 있음. 전과 마찬가지로 각 힘에는 상응하는 포텐셜이 존재함.
(1.34)
(1.35)
물논 에너지 항이 두개니까 힘도 외부힘 내부힘 두개로 나눠야됨.
일단 내부힘도 뉴턴 3법칙을 만족하고 입자사이의 거리 벡터에 평행해야되니까 내부 포텐셜이
(1.36)
(1.37)
을 만족시켜야함. 포텐셜이 원래 위치벡터에 의존하는 값이었으니 (1.37)은 포텐셜이 입자간의 거리에만 의존하고 방향에 대한 의존도가 없어진다는 뜻.
마지막으로 다른 입자가 어디있던 외부힘에 영향을 미치지 않아야됨. 다시말해서 포텐셜이
(1.38)
이렇게 기술될 수 있어야함. 이 조건들이 다 충족되면 포텐셜 에너지의 총합을
(1.39)
로 정의해서 에너지 보존 법칙
(1.40)
을 다시 완성할 수 있음. 에너지 보존법칙이 성립하는것까지 확인했으니 여러 입자로 이루어진 계도 뉴턴역학으로 기술 가능하다는걸 확인했음.
참고로 여기서 나온 모든 합 (Σ)들을 적분으로 바꿔버리면 개별 입자의 모음에서 연속체로 넘어가게됨. 연속체의 운동에 관한 내용, 예를들자면 회전관성 텐서같은건 나중에 연속체관련 내용끼리 모아서 한꺼번에 기술하겠음.
전과 마찬가지로 오류 또는 설명이 부족한 부분 지적해주면 수정함.
