오늘부터는 라그랑주 역학을 배울거임. 굉장히 중요한 내용이라 꽤 여러 회차에 걸쳐서 살펴보게 될텐데 가능하면 1주일에 1편씩 올릴 생각임.
본격적으로 시작하기 전에 표기법 하나 보고감.
벡터랑 텐서의 응용 배울때 (즉 다중선형 -> 미분기하학 -> 일반상대성 테크 탈때) 벡터/텐서의 합에 관해 뭔가 쓸 일 이 많아짐. 예를들어
(2.1)
같은 식으로. 근데 아인슈타인이 이 합 기호가 쓰기 귀찮다고 아인슈타인 표기법이라는걸 만들어냈음.
(2.2)
이런 식의 표기법임. 귀찮음의 정점으로 기저벡터 e_i까지 다 떼버리고 벡터 성분만 쓰면 우변같이 써짐. 물론 식의 의미는 (2.1)의 합이랑 정확히 같음. 이 표기법에서 첨자가 위로가면 반변량, 첨자가 아래로가면 공변량이라는 뜻인데, 기저벡터를 정변환할때 공변량은 기저벡터랑 똑같이 정변환, 반변량은 반대로 역변환해야되는 값이라고 생각하면 됨. 첨자가 위에도 붙고 아래에도 붙을 수 있으면 지수랑 어떻게 구분하냐고 물을 수 있는데, 그냥 눈치껏 알아봐야됨.
예시를 하나 들자면, 기저벡터 
로 정의된 데카르트 직교좌표계에서 벡터
(2.3)
가 있을때, 기저벡터의 길이를 2배로 늘리면 (즉 새로운 직교좌표계 
) 벡터 v를 새 좌표계에서 표현할때에
(2.4)
로 쓰게됨. 즉 x,y방향의 계수가 절반으로 줄어들었음. (= 곱하기 2의 역변환) 따라서 벡터의 성분은 반변량이라는걸 알 수 있음. 비슷하게 만일 기저벡터의 길이를 2배로 늘렸을때에 같이 2배로 늘어나야 하는 양은 (예를들어 코벡터의 성분) 공변량임.
앞으로 글 내용에서 아인슈타인 표기법이 계속 나올거니까 보면서 차차 익숙해질거임.
이제 라그랑주 역학으로 바로 들어가보겠음. 라그랑지언 역학은 뉴턴역학과는 다르게 벡터대신 일반화 좌표계 상의 스칼라만으로 모든 운동을 기술함. 쉽게 말해서 벡터로 묶여있는 항들을 풀어쓴다고 생각하면 됨. 예를 들어 (1.16)에서 봤던 힘과 포텐셜의 관계를 새로운 표기법으로 쓰자면
(2.5)
같이 쓸 수 있음. 물론 운동량 자체도 비슷한 방법으로 다시 풀어 쓸 수 있음.
(2.6)
이제 자유도를 정의할거임. 자유도는 움직이는 물체의 운동을 기술하기 위해 필요한 공식의 갯수 (=독립변수의 갯수)랑 같음. 예를 들어 3차원 공간에서 움직이는 물체가 있다면 최소한 3개의 변수 x,y,z 가 있어야 좌표계를 정의할 수 있으니 3의 자유도가 주어짐.
근데 물체가 여러개 있으면 물체의 갯수가 많을수록 그 전체 계의 자유도가 증가함. 더 정확히 말하자면 N개의 독립적인 물체가 3차원 공간에서 움직인다면 3N개의 독립적 변수가 있어야 전체의 움직임을 정확히 기술할 수 있음.
3N개의 자유도를 가진 계의 움직임을 기술하는 방법중 하나는 바로 "짜임새 공간" 또는 "배위 공간" (Configuration space) 이라고 불리는 공간을 정의하는건데, 배위공간은 계의 자유도와 같은 수의 차원을 가짐.
즉 3차원 공간에서 N개의 독립적 물체를 기술하려면 3N차원 배위공간이 필요함.
배위공간이 굉장히 유용한 이유가 뭐냐면, 계 안에 물체가 몇개가 있던, 어떤 운동을 하던, 차원수만 맞춰주면 시간의 흐름에 따른 계 전체의 운동을 하나의 곡선으로 정확하게 기술할 수 있음.
매우 간단한 예시 하나를 보겠음. 1차원 단순 조화운동을 하는 입자는 시간을 독립변수로 가진 사인함수로 기술할 수 있음 (단순조화운동은 고등학교에서도 배울만한 내용이니 구체적으로 설명 안함).
그럼 1차원 단순 조화운동을 하는 입자 두개를 동시에 추적해 보겠음 (편의를 위해 하나는 사인함수, 하나는 코사인함수라고 치겠음). 그럼 이 두 입자로 이루어진 계 전체의 운동을 기술하려면 2차원 배위공간이 필요한데, 이걸 그림으로 나타내면
(fig2.1 - 출처: 위키피디아)
이런 모양이 나옴. 즉 두 입자의 운동이 2차원상의 곡선 (여기서는 닫힌 곡선)으로 기술할 수 있다는걸 알 수 있음.
자, 이제 본격적으로 라그랑지언 역학에 발을 담글수 있음. 라그랑지언역학에서는 라그랑지언이라는 물리량이 있음. 이 물리량은
(2.7)
로 정의됨. 즉, 운동에너지에서 위치에너지를 뺀 값임. 라그랑지언이 중요한 이유는 이 라그랑지언의 값을 이용해서 특정한 포텐셜이 주어졌을때에 배위공간상에서 물체(또는 물체들로 이루어진 계)의 운동 궤적을 정확하게 알아낼 수 있기 때문임.
배위공간에서 운동의 시작점과 끝점 x(t0)과 x(tf)를 정하고 정적분을 하면
(2.8)
이 범함수 S를 작용이라고 부름 (참고로 범함수는 함수를 입력으로 갖는 함수라고 생각하면 됨). 이제 중요한 정리 하나가 남았음. 바로 최소작용의 원리라는건데, 단순히 말해서 물체(또는 계)는 반드시 작용 S의 값이 극값(극대값/극소값)인 궤적을 따른다는 내용임. 이 정리의 일반화인 해밀턴의 원리는 고전역학뿐만 아니라 전자기학, 양자역학, 일반상대론, QFT 등 이후에 두고두고 우려먹는 중요한 정리이므로 증명을 보겠음.
첫번째로, 임의의 궤적을 아주 조금만 변형해보겠음.
(2.9)
물론 시작점과 끝점은 같아야 되니까
(2.10)
라고 미리 약속함. 그럼 범함수 S의 값의 변화는
(2.11)
로 정리됨. 그리고 마지막줄에서 우변 두번째항을 부분 적분해보면
(2.12)
근데 (2.10)에서 정한것때문에 마지막항의 값은 0이 됨. 따라서
(2.13)
이란 결과를 얻음. 근데 우리가 원하는대로 S가 최소값이 된다면 dS/dx = 0이어야되고, 이걸 만족하려면 우변에 우리가 적분하는 대상의 값이 0이어야됨. 그럼
(2.14)
이 식을 오일러-라그랑주 공식이라고 부름. 굉장히 중요한 공식임. 근데 라그랑지언의 정의상
(2.15)
따라서 (2.14)에 (2.15)를 대입해보면
(2.16)
근데 이건 (2.5)에서 봤던 식임. 우린 이미 이 식이 성립한다는걸 알고 있으니
(2.17)
따라서 작용의 변화량이 0이라는걸 보일 수 있음 (dS/dx = 0, 즉 최대/최소값). 다시한번 강조하지만 지금 우리는 굉장히 중요한 사실을 배운거임.
한가지 유용한 사실은 오일러-라그랑주 공식은 뉴턴역학의 공식들이랑 다르게 어떤 좌표계에서도 항상 성립한다는거임. 특히 복잡한 역학 문제를 풀때에 어떤 좌표계를 설정하느냐에 따라 문제의 난이도가 큰 차이가 나기때문에 별다른 변환을 적용할 필요없이 어느 좌표계에서나 쓸 수 있다는점은 굉장한 이득임.
