문제는 여기: https://arca.live/b/math/102761851
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tan A/2 tan B/2 + tan B/2 tan C/2 + tan C/2 tan A/2 = 1
이거 덧셈정리 사용하면 증명되긴하는데
다른 방법으로 못하나..?
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(A, B, C는 삼각형의 세 각이며, 원문에는 소문자로 되어 있었지만 임의로 수정함)
문제에 적힌 대로 탄젠트 덧셈공식을 사용하면 바로 나오지만, 다른 방식으로 증명하도록 하자.
tan A/2 = r/α, tan B/2 = r/β, tan C/2 = r/γ
그러면
tan A/2 tan B/2 + tan B/2 tan C/2 + tan C/2 tan A/2
= r² / αβ + r²/ βγ + r²/γα
= r² (α + β + γ) / αβγ
따라서 r² (α + β + γ) = αβγ 를 증명하면 된다.
여기서는 헤론의 공식을 이용한다.
s = (a + b + c) / 2 일 때 삼각형의 넓이 S = √(s (s - a) (s - b) (s - c))
s = (a + b + c) / 2 = α + β + γ
s - a = (α + β + γ) - (β + γ) = α, 마찬가지로 s - b = β, s - c = γ
즉 S = √(αβγ (α + β + γ))
그런데 삼각형의 넓이 S = (1/2) r (a + b + c) = r (α + β + γ) 이므로
r (