원글: https://arca.live/b/math/97789456
댓글에도 적었지만 한번더 올려봄
pi^2/6을 s로 치환하면, 전체 a_n 을 0으로 둘 때 합은 0, a_1만 1이면 합이 1, 전체 1 이면 s, a_1만 0이고 나머지 1이면 s-1이므로 이 네개는 S에 포함된다.
그런데 S의 최댓값, 최솟값은 각각 0과 s이고, s-1는 a_1이 0인 애들 중에서 가장 큰 원소, 1은 a_1이 1인 이들 중에서 가장 작은 원소이므로 s-1보다 크고 1보다 작은 S의 원소는 존재하지 않는다. 따라서 S는 [0,s-1]U[1,s] 의 부분집합이 되어야 한다.
이제 x in [0,s-1]U[1,s] 에 대해 다음과 같은 알고리즘을 통해 수열 a_n을 정의하자.
1. p=0, n=1
2. loop:
3. if p < x-1/n^2 : a_n=1
4. else : a_n=0
5. n <- n+1
6. p <- p+ a_n/n^2
다음으로 x_n = sum a_n/n^2 이라고 두자. 그러면 1<s<2으로부터 x-1<x_1<x 이고, 어떤 k>1에 대해서 x-1/k^2< x_k <x 가 성립할 때, k>=1이면 k^2>= 1/2(k+1)^2 에서
1/k^2 - 1/(k+1)^2 <= 1/(k+1)^2
가 성립하므로
x_k+1/(k+1)^2 > x- 1/k^2 + 1/(k+1)^2 >= x-1/(k+1)^2 이다.
a_(k+1)=0인 경우에는 이미 x-1/(k+1)^2<x_(k+1)=x_k<x 이다.
즉, 수학적 귀납법에 의해, 임의의 n에 대해 x>x_n> x-1/n^2이다. 따라서 임의의 e>0에 대해 적당한 n_e 가 존재해서 | x_(n_e) - x| <e 를 만족한다. 즉, x_n -> x이다.
따라서 x in [0,s-1]U[1,s] 이면 x in S이다. 즉, 서로가 서로를 포함하므로 S=[0,s-1]U[1,s] 를 얻는다.
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