exponential racing 의 예제 중 하나네요. 지수분포를 특정하는 중요한 특성인 'memorylessness' 개념을 쓰면 쉽게 증명 가능합니다.

우선 (a) 에서 U 가 rate 2 인 지수분포임을 보였으므로, U ~ (1/2)Y 입니다. 따라서 다음을 보이면 충분합니다: V - U 는 U 와 독립이고 rate 1 인 지수분포를 따른다. 그러면 (U, V-U) 가 ((1/2)Y, X) 와 결합분포가 동일하므로, V = U + (V-U) 역시 (1/2)Y + X 와 분포가 같음이 따라나오죠.

이를 위해서, 임의의 양수 s, t 에 대하여, U 와 V - U 의 joint complementary CDF

P(V - U > t 이고 U > s)

를 조사해봅시다. 이를 우선 두 경우 X > Y 와 Y > X 로 나눠서 찢어보면 (X = Y 가 일어날 확률은 0 이므로, 이 경우는 무시할 수 있습니다.)

= P(V - U > t 이고 U > s 이고 X > Y) + P(V - U > t 이고 U > s 이고 Y > X)

인데, X > Y 인 경우 U = Y 이고 V = X 이며, Y > X 인 경우에도 비슷한 관찰을 통해

= P(X > Y + t 이고 Y > s이고 X > Y) + P(Y > X + t 이고 X > s 이고 Y > X)

와 같이 적을 수 있습니다. 그런데 이제 X > Y + t 라는 조건으로부터 X > Y 는 공짜로 따라나오며 반대쪽에서도 마찬가지이므로,

= P(X > Y + t 이고 Y > s) + P(Y > X + t 이고 X > s)

입니다. 이제 law of total expectation 및 조건부 기대값의 taking-out-what-is-known 성질로부터

= E[P(X > Y + t | Y)·1[Y > s]] + E[P(Y > X + t | X)·1[X > s]]

와 같이 적을 수 있습니다. 단, 여기서 1[...] 는 사건 {...} 에 대한 indicator function 입니다. 그러면 지수분포의 complementary CDF 로부터

= E[exp(-(Y + t))·1[Y > s]] + E[exp(-(X + t))·1[X > s]]

이고, 이는 적분 등을 통해 쉽게 계산할 수 있습니다:

= (1/2)exp(-2s-t) + (1/2)exp(-2s-t)
= exp(-2s)exp(-t)

그런데 마지막의 식은 변수 s 와 t 각각에 대한 함수의 곱셈 꼴이므로, 이로부터 V - U 와 U 가 독립임을 알 수 있습니다. 그리고 s = 0 을 대입해보면 P(V - U > t) = exp(-t) 이므로 V - U 가 rate 1 인 지수분포를 따름이 증명됩니다. (사실 위 계산은 U 가 rate 2 인 지수분포임도 동시에 증명해줍니다.)