다른 풀이

준식이 제곱수라는 것은 일단 약수가 있다는 뜻이고
즉, 인수분해가 된다는 이야기이므로
준식=n^4-4n^3+22n^2-36n+18

일단 (일차항)×(삼차항)으로 인수분해를 생각해보면
인수정리에의해서
준식=0을 만족하는 근이 존재해야하며

여기서 유리수근 판정법에 의하면
정수계수 다항식의 경우
(상수항의 약수)/(최고차 항의 약수)
가 근이므로

가능한 경우의 수는 +-1,+-2,+-3,+-6,+-9,+-18
총 12가지 이다.

즉 12가지를 n에 대입해서 0이 나오는 경우를 찾자.
직관적으로 음수의 경우 준식이 양수이므로
1,2,3,6,9,18 이렇게 6가지 중에서 찾아보면

n=1, 준식=1
n=2, 준식=18
n=3, 준식=61
n=6, 준식=...

0에 가까이 가기는 커녕 점점 더 커진다.
이를 통해 준식은 일차항을 인수로 갖지 않음을 알 수 있다.

즉 준식은 (일차식)×(삼차식)의 형태로는 존재하지 않고
(이차식)×(이차식)의 형태이다.

한편, 준식은 제곱수이므로
(이차식)^2의 형태이다.

준식=n^4-4n^3+22n^2-36n+18
       =(n^2+an+b)(n^2+an+b)

최고차항부터 낮아지는 방향으로 계수 비교를 해보면

1=1
-4=2a
22=2b+a^2
18=b^2

이므로 a=-2, b는 모순

즉 문제가 오류가 있고, 잘 만든 문제가 아님을 알 수 있다

가능한 경우는 n=3,n=1,n=-1일 때 뿐임