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p-q가 소수이므로 formal한 소수의 정의에 의해 p>q이다.
p, q가 모두 홀수일 때, p+q나 p-q는 짝수이다. 이때, 짝수인 소수는 2가 유일하므로 p+q=2를 만족하는 소수 p, q는 존재하지 않는다. 따라서 p, q 중 적어도 하나는 짝수이고, p>q이므로 q=2이다. (마찬가지로, 짝수인 소수는 2가 유일하고 p, q는 서로 다른 자연수이므로 둘 다 짝수일 순 없음.)
따라서 수열 {p-q, p, p+q}={p-2, p, p+2}는 소수열이다. 또한, 이 수열은 3의 배수를 항상 포함한다. 이를 증명하자면 다음과 같다.
i) p=3k일 때
p=3k이므로 3의 배수를 포함한다.
ii) p=3k+1일 때
p+q=p+2=3k+3이므로 3의 배수를 포함한다.
iii) p=3k+2일 때
p-q=p-2=3k이므로 3의 배수를 포함한다.
따라서, i)~iii)에 의해 모든 자연수 p에 대해 수열 {p-q, p, p+q}={p-2, p, p+2}는 3의 배수를 항상 포함한다.
이때 이 수열은 소수열이므로 포함되는 3의 배수는 3으로 유일해야 한다.
p-q=3 or p=3 or p+q=3의 경우를 따져보면 p=5일 때 유일하게 소수열 조건을 만족한다.
따라서, p^q=5^2=25

문제 정말 좋네요.

이 문제를 풀다가 임의 길이의 소수 등차 수열이 반드시 존재한다는 사실에 이르렀음...
테렌스 타오가 필즈상을 받은 이유가 있구나..

p+q p-q가 모두 소수이려면 홀짝성에 의해 q=2여야하니까 p가 공차가 2이고 길이가 3인 등차소수열의 중앙값이어야하므로 p=5
재밌네요