f(x)=f'(x)
1=f'(x)/f(x)
양변 적분
x+C=ln(f(x))
e^(x+C)=f(x)
f(x)= e^C× e^x

f'(x) = f(x)
e^-x f'(x) - e^-x f(x) = 0
d[e^-x f(x)]/dx = 0
e^-x f(x) = C
f(x) = Ce^x

f(x)=a^x,
a=0일 경우 f'(x)=0, 문제 성립,
0<a일 경우
 lnf(x)= xlna
양변을 미분하면
f'(x)/f(x)=lna,
그런데 f(x)=f'(x)이므로
f'(x)/f(x)=1,
lna=1
a=e
 2번은 문제 의도를 잘 모르겠음.
실수 전체에서 성립 하지 않는 c가 없음을 증명하라도 아니고 c=1이란 예시가 문제 1에서 바로 나오는데?

2번 다른 풀이도 있음
f(x)=0인 x가 존재하지 않으면 첫 댓글처럼 구한다.

f(a)=0이라고 하자. a<x인 x에 대하여,  f(x) = int_a^x f'(t)dt = int_a^x f(x) dx이므로 |f(x)| =| int_a^x f(t)dt | <= int_a^x |f(t)|dt이다.
g(x) = int_a^x |f(t)|dt라고 한다면, g '(x) <= g(x)이다. 또,  g'(x) - g(x) <= 0, d[e^-x g(x)]/dx <= 0이다. 곧 e^-x g(x)는 감소해야 하는데 g(a)=0이고 g(x)>=0이니 g는 상수함수 0임을 알 수 있고, 음이 아닌 값을 갖는 연속함수의 적분이 0인 경우는 상수함수 0 밖에 없으므로 f(x)=0(x>=a)가 된다. x < a에 대해서도 |f(x)| <= - int_a^x |f(t)|dt를 이용하면 f(x)=0을 보일 수 있다.


참고로 이 풀이는 일반적인 nice한 separable equation으로 확장 가능하다는 의의가 있다. f' / f가 bounded라면 가능하다.

2번은 자명해 C=0이 존재하는거 아님?