고교 수준에서 지수함수가 다항함수보다 빨리 커지는 걸 어떻게 보이죠?

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익명_Y0pf0 (110.11)

추천 0 비추천 0 댓글 14 조회수 1403 작성일 2020-03-24 15:20:31 수정일 2020-03-24 15:21:04

https://arca.live/b/maths/1076868

f(x)를 다항함수, a를 1보다 큰 실수라고 하자.

그러면, lim (n->∞) (a^n/f(n))=∞이다.

라는 것을 고등학교 수준에서 어떻게 증명하나요?

댓글 [14] 글쓰기

제천역가락국수

2020-03-24 15:23:16 답글

아마 f(n)/a^n이 0으로 가는 걸 보이면 되지 않을까요?
그걸 위해서 n^k/a^n(k는 정수)가 0으로 가는 걸 보이면 되겠죠.

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익명_Y0pf0 (110.11)

2020-03-24 15:24:55 삭제 수정 답글

n^k/a^n이 0으로 가는 건 어떻게 보일 수 있을까요?

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제천역가락국수

2020-03-24 15:27:27 답글

아마... '어떤 수 M이 존재해서 x>M이면 x^k<a^(n/2)이다'를 보이기만 하면 그 다음은 잘 풀리지 않을까요

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익명_Y0pf0 (110.11)

2020-03-24 15:30:14 삭제 수정 답글

*수정됨

엡실론 델타 논법을 쓰면,
임의의 자연수수 N에 대해, 어떤 자연수 M이 존재해서, M 이상의 모든 자연수 K에 대해, n^K/a^K < 1/N 이라는 걸 증명하면 되긴 하는데....

(참고로, 대학 수준으로 가면 그냥 로피탈 정리를 써도 된다는..)

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익명_zlN21 (1.237)

2020-03-24 15:32:47 삭제 수정 답글

두 함수를 n번 미분하면 되지 않을까요? 다항함수는 미분하면 언젠간 증가율이 0이 될 거고 지수함수는 증가율이 계속 증가하니까... 증가율이 증가한다는 건 그만큼 빨리 커지는거고요

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익명_Y0pf0 (110.11)

2020-03-24 15:36:18 삭제 수정 답글

lim (x->∞) (f'(x)/g'(x))= ∞ 이면, lim (x->∞) (f(x)/g(x))= ∞ 이라는 정리를 쓰고자 하시는 거 맞나요?

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익명_zlN21 (1.237)

2020-03-24 15:42:03 삭제 수정 답글

*수정됨

아직 로피탈을 안 배워서 잘 모르겠지만 논리에서 약간 차이가 난다고 생각합니다

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익명_Y0pf0 (110.11)

2020-03-24 15:43:43 삭제 수정 답글

그러면 논리를 어떻게 전개하실 생각이신가요?
(수학적 귀납법을 써야 될 수도.)

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리에도

2020-03-24 15:54:01 답글

*수정됨

지수함수의 증가율이 계속 증가하므로 다항함수보다 커질 수 밖에 없다고 하려 했는데 잘못된 것 같네요.... (위와 동일인물입니다)

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익명_Y0pf0 (110.11)

2020-03-24 16:00:27 삭제 수정 답글

혹시 방금 고정닉 생성하신건가요?

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리에도

2020-03-24 16:07:46 답글

넵 ㅋㅋ 수학챈 관심생겨서 바로 달았습니다

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리에도

2020-03-24 16:08:25 답글

앞으로 잘 부탁드리겠습니다

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익명_Y0pf0 (110.11)

2020-03-24 16:09:34 삭제 수정 답글

와, 유입이다. 
수학 관련해서 궁금하신 거 있으시면 언제든지 물어보세요. 
수학과 학부 수준 내에서는 어느 정도 대답해 드릴 수 있습니다.

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리에도

2020-03-24 16:10:13 답글

넵 감사합니다!

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