증명이라는 게, 보통은 거기에 숨겨진 원리를 찾아내서 성립하는 이유를 알아내는 것이죠. 
그 숨겨진 원리를 찾았으면, 이제 비슷한 원리를 적용할 수 있는 대상을 찾아 그 원리를 유사하게 적용해 보거나, 비슷한 성질을 새로 유추해 낼 수 있죠. 
즉, 한 사실을 증명하거나 그 원리를 밝힘으로써 그것을 응용하거나 확장해서 참,거짓을 판별해 볼 새로운 후보를 찾을 수 있습니다.
특히, 이런 식으로 찾는 경우는 대체로 여러 대상의 추가적인 성질을 알게 될 가능성이 좀 높은 편이죠. 
그래서 수학에서는 특정 명제의 증명의 가치는 단순히 그 명제의 참 거짓 여부를 밝히는 것을 넘어서 그 증명법의 내용으로부터 새로운 가치를 창출할 가능성을 여는 것이라고 생각합니다. 적어도 기존의 원리들에 대한 새로운 사용 방법 정도는 알아낸 것이죠. 

이런 원리 혹은 증명의 응용과 확장은 수학적 증명을 중시하다 보면 누구든 어느 정도의 수준으로 도달할 수 있다고 생각합니다. 

이래서 증명이 정말 유익하고 중요하다고 생각합니다.

예를 들면, '√2가 유리수가 아니다.'라는 것을 증명할 수 있으면, 그 증명법에 2의 어떤 성질이 어떻게 쓰였는지를 확인한 뒤에, 그러한 성질을 갖는 다른 수에도 적용해 볼 수 있죠.

아마도, '√2가 유리수가 아니다.'의 증명법을 아는 웬만한 고등학생들은 '모든 소수 p에 대해, √p가 유리수가 아니다.' 도 쉽게 증명할 수 있을 것입니다.