1. 집합 A에 대해, P(A)={ B | B ⊂ A} 라고 정의하자. 그러면, A와 P(A) 사이에 일대일 대응 함수가 존재하지 않는다는 것을 증명해라. 

2. 양의 정수 집합 N에 대해, P(N)={ B | B ⊂ N} 이라고 하자. 실수 집합과 P(N) 사이에 일대일 대응 함수가 존재한다는 것을 증명해라. 

3. 임의의 집합 A에 대해, A가 유한 집합이거나 양의 정수 집합 N과 A 사이에 일대일 대응 함수가 존재할 때, A를 countable set(가산 집합, 셀 수 있는 집합)이라고 한다. 

다음의 집합으로 이루어진 수열을 생각하자.

A_1, A_2, A_3, ....., A_n, ....

그러면, B=U(i=1에서 무한) A_i   가 countable set이라는 것을 증명해라.     (Countable union of countable set is countable)

4. N을 양의 정수 집합, S를 N의 부분 집합이라고 하자. 그러면, S가 무한 집합이면, S와 N은 서로 크기가 같음을 증명해라. 

5. 무한 집합 중 가장 작은 크기를 갖는 집합은 countable set임을 증명해라.