√2=1+1/(1+√2)=1+1/(2+1/(1+√2))=1+1/(2+1/(2+...))...) 이다.
좀 더 가독성있게 쓰자면,
x=1+ 1
2+ 1
2+ 1
2+ 1..
.......
이다. 저 x가 정말로 2의 제곱근인지 궁금하다면, 방정식을 쓰면 된다고 한다. (사실 해석학 수준에서는 수렴하는 것도 보여야 함. 근데, 그냥 Cauchy sequence니까 실수에서 수렴하는 건 쉽게 보일 수 있음.)
x=1+1/(1+x)이므로, x-1=1/(x+1), x^2=2 가 된다. 이때, 왠지 x가 양수여야 할 것 같으므로, x는 √2이다.
그러면, √2는 저러한 무한 연분수로 표현되므로, x는 유리수일 수 없다. 즉, √2는 무리수다.
이렇게 어떤 실수를 무한 연분수로 표현하면, 특이한 성질이 나오는 경우가 있다. 그리고 이를 연구함으로써 그 수가 가진 보다 다양한 성질을 증명해 내기도 한다.
그러면 대충 연분수에 대해 알아 보자. 연분수는 대충, 분수를 연속적으로 쓰는 것이다.
예를 들어, 1/(1+1/3) 같은 게 연분수다.
그리고 임의의 양수 a에 대해, 다음과 같은 방식으로 특정 조건을 만족하는 연분수 형태로 변환할 수 있다. (대충 분모가 1이 되게 하는 방식이다.)
그리고 [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수를 의미한다.
수열 a_n과 b_n을 다음과 같이 정의하자.
1-B. b_1=a-[a]
1-A. a_1=[1/b_1]
2-B. b_(n+1)=(1/b_n) - a_n
2-A.a_(n+1)=[1/b_(n+1)] (단, b_(n+1)=0 이라면, 멈춘다.)
그러면,
a=[a]+ 1
a_1+ 1
a_2+ 1
a_3+ 1
.......
가 된다.
예를 들어, a=10/7이라면,
[a]=1
b_1=10/7-1=3/7
a_1=[7/3]=2
b_2=1/b_2 -a_3=7/3-2=1/3
a_2=[1/b_3]=3
b_3=1/b_3-a_3=3-3=0
10/7=1+ 1
2+ 1
3
그러면, 여기서 한 가지 lemma(보조 정리)를 증명하면 √2가 무리수라는 것을 증명할 수 있다.
'모든 양의 유리수는 위와 같은 방식으로 연분수로 전개할 때, 유한 연분수가 된다.' (즉, 위 과정에서 수열을 만들어 줄 때, b_n=0이 되는 정수 n이 존재한다.)
이 부분은 exercise로 넘기도록 한다.
연습 문제)
1. 왜 임의의 양의 유리수는 위와 같은 방식으로 연분수를 전개하면 유한 연분수가 되는 걸까?
2. 이걸로 제곱수가 아닌 임의의 양의 정수 k에 대해, √k가 무리수임을 증명할 수 있을까?
연분수에 대해 좀 더 궁금하시면 https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B0%EB%B6%84%EC%88%98 와 펠 방정식 찾아 보세요.
