가끔 고등학교 때 e나 π, 삼각함수 등을 접하면서 초월수나 초월함수라는 개념을 접하게 되고는 한다. 그렇다고 초월수가 뭔지, 초월함수가 뭔지 파고드는 학생은 많이 없다.
여기서는 초월수와 대수적 무리수에 대해 잠깐 소개하도록 하겠다.
우선 실수 집합이 존재해야 한다. (정확히는 실수체)
그 다음에 무리수 집합이 존재한다.
그 무리수 집합은 대수적 무리수와 초월수로 분할할 수 있다. 즉, 초월수나 대수적 무리수 중 하나만 제대로 정의하면 된다.
초월수는 대수적 무리수가 아닌 무리수이다.
대수적 무리수를 제대로 정의해 보자.
예로부터, 대수학이라는 것은 본래 주어진 방정식의 해를 구하는 것이다. 그리고 그 방정식 중에서도 가장 대표적인 것이 다항식 형태의 방정식이다.
우리는 기존의 유리수 집합으로부터 새로운 수들을 대수적으로 만들어 내고 싶은 것이다. (대충 이를 대수적 확장이라고 한다.)
그러면, 우리는 유리수 계수의 다항식들의 집합을 생각해 볼 수 있다.
대충 A={a_0+∑a_k*x^k (k는 1에서 n까지)| n은 양의 정수, a_1, a_2, ... , a_n은 유리수.}라고 놓으면 된다.
(만약, 좀 더 집합론적으로 생각하고 싶다면, 다항식을 (a_0, a_1, a_2,... , a_n, 0, 0, 0, 0, ....)라는 순서쌍으로 생각해도 좋다.)
그러면 A의 원소 p(x)에 대해, p(x)=0이라는 방정식을 생각할 수 있고, 이 방정식의 해 r (즉, p(r)=0을 만족하는 r)의 존재성에 대해 궁금할 수 있다.
그런 해의 존재성이 적절한 개념에서 잘 증명이 된다.
(좀 더 구체적으로는 좋은 연산 구조(field)를 줄 수 있는 유리수 집합을 포함하는 더 큰 집합을 생각할 수 있다.)
그러면 이제, 간단히 짚고 넘어가자면, A의 임의의 원소 p(x)에 대해, 복소수 집합에는 언제나 p(x)의 해가 존재한다. (이래서 복소수가 중요합니다.)
이제 대수적 무리수를 정의하면,
'어떤 실수 a가 대수적 무리수라는 것은 a가 유리수가 아니고, 어떤 A의 원소 p(x)에 대해 p(a)=0이라는 것이다. '
즉, 유리 계수 다항식의 해를 모두 모아 놓은 집합은 대수적 무리수 집합이다.
여기서, 대표적인 exercise를 남기도록 한다.
exercise) S={x | x는 대수적 무리수(위에서 정의한 것) }라고 하자. S가 countable set임을 설명해라.
