두 가지 방법으로 풀어봤습니다. 개요만 설명하자면... (아래에서 {n_1, n_2, ...} 는 크기 순서로 정렬되어 있다고 가정합니다. 즉 i < j 이면 n_i < n_j 입니다.)

(1) 자연수의 집합의 부분집합 전체의 집합이 countable 하지 않다는 증명의 응용: A가 무한집합인 것은 자명하므로 A가 countable 이라고 가정하면 N -> A 로의 일대일대응함수 g가 존재한다. 이제 Ne = {n | f(n) = n where f = g(n)}, Nd = {n | f(n) != n where f = g(n)} 이라 하자. 이제 h(n) 을 다음과 같이 정의한다.
- n이 Nd 에 속하면 h(n) = n
- Ne가 공집합인 경우, 모든 자연수 n 에 대하여 h(n) = n
- Ne가 공집합이 아닌 유한집합인 경우, Ne = {n_1, n_2, ..., n_k} 라 하자. f(n_i) = n_(i+1) for i = 1, ..., k-1,   f(n_k) = n_1
- Ne가 무한집합인 경우, Ne = {n_1, n_2, ...}, f(n_(2i-1)) = n_2i, f(n_2i) = n_(2i-1)  for i = 1, 2, ...
그러면 n이 Nd의 원소이면 h(n) = n이고 n이 Ne의 원소이면 h(n) != n 이 된다.
이제 g(t) = n 이라 하자. 그러면 t가 Nd 나 Ne의 원소라고 하면 모순이 된다.

(2) 자연수의 집합의 부분집합 전체의 집합이 countable 하지 않다는 사실의 이용: 임의의 자연수의 부분집합 M 에 대해서 다음과 같은 함수 h를 정의할 수 있다.
- n이 M 에 속하지 않으면 h(n) = n
- M이 공집합인 경우, 모든 자연수 n에 대해서 h(n) = n
- M이 유한집합인 경우, M = {n_1, n_2, ..., n_k} 라 하자. h(n_i) = n_(i+1) for i = 1, ..., k-1,  h(h_k) = n_1
- M이 무한집합인 경우, M = {n_1, n_2, ...} 라 하자.  h(n_(2i-1)) = n_2i, h(n_2i) = n_(2i-1)  for i = 1, 2, ...
그러면 n이 M의 원소이면 h(n) != n이고 n이 M의 원소가 아니면 h(n) = n 이 된다. 즉 각각의 M에 대해 서로 다른 h()가 대응되므로 M에서 h로의 대응은 일대일대응함수이다. 이와 같은 h는 A의 부분집합이고 자연수 집합의 부분집합의 집합은 countable하지 않으므로 A는 countable 하지 않은 부분집합을 갖는다. 따라서 A는 countable 하지 않다.

문제에서 의도한 답은 어떤 것인지 모르겠습니다. ㅎ