우리는 중학교 때부터 유리수가 아닌 수의 존재에 대해 직접적으로 다루기 시작한다. (사실 초등학교 때 등장하는 원주율도 무리수이지만, 그냥 3.14라고 쓰더라.)
그러면, 무리수는 무엇이라고 정의하나?
보통은 실수가 아닌 유리수라고 정의한다.
그러면, 실수는 어떻게 정의하나?
그냥 현실에 존재하는 수의 느낌으로 받아들이다. 2의 제곱근의 존재성도 그냥 밑변의 길이가 1인 직각이등변삼각형의 빗변의 길이가 √2여야 하니까 이런 수를 다루겠다고 한다.
이러한 motivation은 정말 중요하다고 생각한다.
하지만, 순수하고 엄격한 논리가 적용되어야 하는 수학에서, 개념을 얼렁뚱땅 혹은 모호하게 넘기는 것은 여러 논리적 오류나 논리적 비약을 야기할 수 있다.
특히, 논리적 비약을 허용하지 않는다면, 실수를 엄밀하게 정의하지 않는다는 것은 실수를 갖고 무엇을 할 수 있는 것인지에 대한 기준과 범위가 불분명하다는 것이다.
그래서 수학자들은 실수가 무엇인지를 엄밀하게 정의하고자 했다.
사실 실수를 정의하는 방법은 매우 다양하다.
실수가 갖는 성질 중에는
완비성, 데데킨트 컷 성질, 코시 완전성, 단조 수렴 성질, 사잇값 성질 등이 있는데, 이들이 모두 적절한 구조 내에서 동치 관계이기 때문이다. 보통 해석학1에서는 완비성을 이용해서 실수를 정의하는 것 같다. (아마 서카포에서도 이렇게 가르칠 것이다.)
이제 본격적으로 실수를 정의하기 위해 필요한 기본 개념을 살펴보고 실수를 정의해 보자.
1. 체(Field)
F를 원소가 2개 이상인 집합, 0과 1을 서로 다른 F의 원소, +와 *를 각각 F에 대한 이항 연산이라고 하자. (즉, + : F×F ->F 인 함수)
그러면, (F, 0, 1, +, *)가 다음의 성질들을 모두 만족할 때, (F, 0, 1, +, *)를 체(field)라고 한다. 관습적으로 0, 1, +, *에 대한 구분이 필요 없거나 명확한 경우에는 그냥 F를 field라고 말하기도 한다.
1) 모든 F의 원소 a, b에 대해, a+b=b+a 이다. (덧셈에 대한 교환법칙)
2) 모든 F의 원소 a, b, c에 대해, (a+b)+c=a+(b+c) 이다. (덧셈에 대한 결합법칙)
3) 모든 F의 원소 a에 대해, a+0=a 이다. (덧셈에 대한 항등원의 존재성)
4) 모든 F의 원소 a에 대해, a+b=0 을 만족하는 F의 원소 b가 존재한다. (덧셈에 대한 역원의 존재성)
5) 모든 F의 원소 a, b에 대해, a*b=b*a 이다. (곱셈에 대한 교환법칙)
6) 모든 F의 원소 a, b, c에 대해, (a*b)*c=a*(b*c) 이다. (곱셈에 대한 결합법칙)
7) 모든 F의 원소 a, b에 대해, a*1=a 이다. (곱셈에 대한 항등원의 존재성)
8) 모든 F-{0}의 원소 a에 대해, a*b=1 을 만족하는 F의 원소 b가 존재한다. (곱셈에 대한 역원의 존재성)
9) 모든 F의 원소 a, b, c에 대해, a*(b+c)=(a*b)+(a*c) 이다. (분배법칙)
P.S.) 원래 대수학에서는 group과 ring을 정의한 뒤에 field를 정의한다. field를 그냥 commutative ring with (multiplicative) identity라고 정의한다.
체에서 분배법칙을 할 때, 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하므로 (b+c)*a=(b*a)+(c*a) 도 성립하는 것을 할 수 있다.
체는 덧셈과 곱셈에 대해 각각 닫혀 있다.
체에서 뎃셈에 대한 항등원은 유일하고, 곱셈에 대한 항등원도 유일하며, 이 두 항등원은 서로 달라야 한다.
2. 순서체(Ordered field)
(F, 0, 1, +, *)을 field라고 하자. 그리고 < 를 F×F의 부분집합으로 보자.
그리고 notation 상의 편의를 위해, (a, b)∈< 를 그냥 a<b라고 하자.
그러면, ((F, 0, 1, +, *), <)가 다음의 성질을 만족할 때, ((F, 0, 1, +, *), <)를 순서체(ordered field)라고 한다.
1) 모든 F의 두 원소 a, b에 대해, (a<b, a=b, b<a) 중 하나만을 만족한다. (전순서)
2) 모든 F의 세 원소 a, b, c에 대해 a<b이고 b<c이면, a<c이다. (추이성)
3) 모든 F의 세 원소 a, b, c에 대해 a<b 이면 a+c<b+c 이다.
4) 모든 F의 두 원소 a, b에 대해, a>0이고 b>0이면 ab>0이다.
((F, 0, 1, +, *), <)를 그냥 (F, 0, 1, +, *, <)라고 쓰기도 하고, 문맥상 의미가 문맥상 명확하거나 굳이 구분할 필요가 없을 때에는 그냥 F가 순서체라고 말하기도 한다.
보통 ≤ = ＜∪{(x, x) | x∈F} 로 정의한다.
P.S) 사실 임의의 집합 S에 대해, S×S의 부분집합 <가 1)과 2)의 성질을 만족하면, (S, <)를 전순서 집합(totally ordered set)이라고 한다.
3. 상계(upper bound)
(S, <)를 전순서 집합(totally ordered set)이라고 하자. 그리고 A를 S의 부분집합, x를 S의 원소라고 하자. 그러면,
모든 A의 원소 a에 대해, a≤x 일 때, x를 A의 상계(upper bound)라고 한다.
4. 최솟값 (minimum)
(S, <)를 전순서 집합(totally ordered set)이라고 하자. 그리고 A를 S의 부분집합, a를 A의 원소라고 하자.그러면,
모든 A의 원소 x 에 대해, a≤x 가 성립하면, a를 A의 최솟값 또는 a=min A이라고 한다.
5. 최소상계(Least upper boud)
(S, <)를 전순서 집합(totally ordered set)이라고 하자. 그리고 A를 S의 부분집합, B={x∈S| x는 A의 상계}, s를 S의 원소라고 하자. 그러면,
s=min B 가 성립하면, s를 A의 최소 상계라고 하고, s=sup A이라고 한다.
P.S.) 특정 집합의 최소 상계는 존재하지 않을 수 있다. 예를 들어, 자연수 집합 전체에 대한 최소 상계는 자연수 집합 내에서 존재하지 않는다.
6. 완비성 (Least upper bound property)
(S, <)를 전순서 집합(totally ordered set)이라고 하자. 그러면, (S, <)가 다음의 성질을 만족할 때, (S, <)를 totally ordered set with least upper bound property 또는 totally ordered set with LUBP 라고 한다.
1) 모든 S의 부분집합 A에 대해, (A와 {x∈S| x는 A의 상계}가 모두 공집합이 아니면, sup A가 S 내에 존재한다.)
P.S) 정수 집합과 자연수 집합은 완비성을 갖는 전순서 집합의 예시이다. 하지만, 유리수 집합은 완비성을 갖지 않는다.
7. 실수 (Real number)
(R, 0, 1, +, *, <)가 완비성을 갖는 순서체(ordered field with LUBP)일 떄, (R, 0, 1, +, *, <)을 real field 라고 하고, R의 원소들을 real number라고 한다.
P.S)위에서 실수를 정의하는 방법이 여러 가지라고 했는데, 다른 방식으로 실수를 정의하는 방법은 그냥 밑의 OO에 완비성 대신에 다른 성질을 넣어주면 된다.
예를 들면, (R, 0, 1, +, *, <)가 OO성을 갖는 순서체(ordered field with OOO)일 떄, (R, 0, 1, +, *, <)을 real field라고 한다.
그리고 ZF 공리계에서, real field (R, 0, 1, +, *, <)의 존재성이 증명되며, 실수 구조는 유일하다. (즉, up to isomorphism으로 유일하다.)
끝.
궁금하거나 이상한 부분 있으면 말씀해 주세요.
