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선택 공리는 수학계에서 중요한 떡밥 중 하나이다. 


고전적인 집합론이 무너지면서 보다 엄밀한 집합론이 만들어 졌고, 대표적으로 ZF 공리계가 있다. 이러한 ZF 공리계에 Axiom of Choice를 추가한 것이 ZFC 공리계이다. 


선택 공리의 내용은 대충 말하면 다음과 같다. 

"임의의 집합 A에 대해, 모든 A의 원소가 공집합이 아닌 집합이라면, 각각의 A의 원소로부터 원소를 한 개씩 뽑아 집합을 만들 수 있다." 


참고로, ZFC 공리계에서는 대부분의 수학적 대상을 집합으로 본다. 모든 자연수들도 집합이고, 함수도 집합이고, 이항 관계(binary relation)도 다 집합으로 본다. 그리고 임의의 집합의 원소들도 집합이다. 


이제, ZFC에서 말하는 선택 공리를 좀 더 엄밀하게 살펴 보면 다음과 같다. 

"임의의 집합 A에 대해, 모든 A의 원소가 공집합이 아니라면, 모든 f(X)∈X인 함수 f : A -> { x | 어떤 A의 원소 X에 대해, x∈X}가 존재한다."


(axiom of choice 자체를 표현하는 건 다양한 방식이 존재할 수 있다. A의 모든 원소들의 데카르트 곱의 존재성으로 표현하기도 한다.)



이 공리의 대단한 점은 많은 수학자들에게 직관적으로 참이어야 할 것 같으면서도, 초른의 보조 정리나 모든 집합은 well-ordering이 가능하다는 좀 비직관적일 수 있는 성질과 동치라는 것이다. 그리고, 바나흐-타르스키 역설이 성립하게 한다. 그리고 ZF 공리계와 독립이다. 

즉, ZF 공리계에서는 axiom of choice를 증명도, 반증도 할 수 없다. 


이 Axiom of choice가 대충 어떻게 사용될 수 있는지 궁금하다면 다음의 정리가 Axiom of choice와 동치라는 것을 증명해 봐라.


"임의의 두 집합 A, B에 대해, A에서 B로 가는 전사 함수(surjection)가 존재하면, B에서 A로 가는 일대일 함수(injection)이 존재한다."


(적어도, 위 정리는 Axiom of choice를 쓰면 안 되는 ZF 공리계에서는 증명 불가능하다.)



참고로, Zorn's lemma나 well-ordering principle과 동치라는 건 좀 난이도가 있는 편 같다.