(미리 보면 좋은 글 : https://arca.live/b/maths/1137243?p=1 )

가끔 누군가는 경우의 수가 무한 개일 때의 확률을 어떻게 다룰까에 대해 고민할 수 있다. 

예를 들어서, "무작위로 하나의 자연수를 뽑았을 때, 그 자연수가 짝수일 확률은 어떻게 될까?" 같은 질문이다. 

그리고 이런 질문 속에는 우리가 엄밀하게 정의해야 하는 단어들이 있다. 

여기서는 "무작위성", "확률" 등이 그 예시가 될 수 있다. 

일단, 자연수 하나를 뽑았을 때, 그 수가 자연수일 확률은 1이어야 할 것이다. 

그리고 만약, "무작위성"을 모든 원소들이 각각 일어날 확률이 같아야 한다는 거면, 

무작위성을 가정하면 

자연수 하나를 뽑았을 때 그 수가 1일 확률은 당연히 0이어야 할 것이다. 

특히, "확률"에서 배반 사건인 두 사건 A, B에 대해, A 또는 B가 일어날 확률이 P(A)+P(B) 여야 한다면 그렇다. 

만약,"확률"의 3번째 공리인, 자연수 개수의 배반 사건들에 대해, 그 사건들 중에 하나가 일어날 확률을 무한 급수로 계산할 수 있다면, 그냥 자연수 중에서 자연수를 뽑을 확률인 P(N)=0이다. (N은 자연수 집합). 모순이다. 

그러면, "확률"의 공리 3번째를 finite additivity로 설정하든지, 무작위성을 포기해야 하든지 할 것이다. 

1) "확률"의 공리 3번쨰를 배반 사건인 두 사건 A, B에 대해, A 또는 B가 일어날 확률이 P(A)+P(B) 로 한다. 그리고 무작위성은 유지한다.

그러면, 임의의 유한 집합 K 에 대해, 임의로 뽑은 자연수가 K의 원소일 확률은 당연히 0이어야 할 것이다. 

이제 자연수의 부분 집합 중 무한 집합에 대해 살펴보자. 사실, 그냥 자연수 집합의 시그마-대수를 { { }, {짝수 집합}. {홀수 집합}, N} 으로 놓고, 이 4개에만 확률값을 논하겠다고 할 수 있다. 그리고 그냥 P({짝수 집합})=a로 놓고, P({홀수 집합})=1-a로 놓으면 된다. 여기서 각 사건의 확률이 같길 바란다면, a=1/2로 놓으면 된다. 

이 방식을 그냥 자연수 하나를 뽑았을 때 그것이 짝수인지, 홀수인지 여부만 판단할 수 있다는 의미로 봐도 된다.

다만, 아무래도 자연수 하나를 뽑는다는 행위에는 잘 맞지 않는 것 같은 느낌도 들 수 있다. 

그러면 임의의 자연수의 부분집합에 대해 확률값을 부여할 순 없을까?  그렇게 되면 아무래도 무작위성의 정의가 마땅히 생각나지 않는다.

2) 무작위성을 포기하면 어떻게 될까?

그러면, 다음과 같이 확률값을 부여할 수 있다. 

P({n})=1/2^n 즉, 1이 나올 확률은 1/2, 2가 나올 확률은 1/4, .... 이다. 

그러면, 자연수 중에서 짝수를 뽑을 확률을 잘 계산하면, 1/3이다. 

이런 식으로 생각하면 각각의 자연수에 가중치를 어떻게 두는지에 따라 다양하게 확률값을 부여할 수 있다.