정오각형을 중심점에서부터 꼭짓점으로 선분을 그으면, 정오각형이 5개의 이등변 삼각형으로 나뉘어진다. 그리고 그 이등변삼각형의 꼭지각은 72º이다.
따라서 꼭지각이 72º인 이등변삼각형을 작도할 수 있으면, 정오각형을 작도할 수 있다.
그리고 72º라는 각도를 작도할 수 있으면 꼭지각이 72º인 이등변삼각형을 작도할 수 있다.
따라서 72º를 작도할 수 있으면 정오각형을 작도할 수 있다. (정오각형뿐만 아니라 n이 3이상의 자연수이고 360º/n 을 작도할 수 있으면, 정n각형을 작도할 수 있다.)
그러면 과연 72º라는 각은 작도 가능한가?
그 작도 가능성을 좀 대수적(수식적)으로 접근해보자.
우선, 작도와 관련한 기본적인 성질에 대해 좀 살펴보자.
90º를 작도할 수 있다.
그리고 주어진 선분과 주어진 각도 대해서, 이 선분을 평행 이동하고 주어진 각도만큼 회전 이동해서 새로운 선분을 작도할 수 있다.
그리고 어떤 선분을 작도할 수 있다. (해당 선분의 길이는 모르지만, 길이를 1이라고 하자. 정 마음에 안 들면 a라고 해도 된다.)
그리고 주어진 선분의 길이를 m배한 길이를 갖는 선분을 작도할 수 있다.
그리고 두 개의 선분이 있을 때, 긴 선분에서 작은 선분을 빼거나 더한 선분을 작도할 수 있다. (예를 들어, 길이가 3인 선분과 1.7인 선분이 있으면, 1.3인 선분과 4.7인 선분을 작도할 수 있다.)
마찬가지로 두 개의 각이 있을 때, 큰 각에서 작은 각을 빼거나 더한 각을 작도할 수 있다.
그러면, 주어진 선분을 밑변으로 하는 직각삼각형을 만들 수 있다. 그리고 그 직각삼각형의 옆변(높이)은 주어진 선분의 유리수 배가 가능하다. 그러면, 피타고라스 정리에 의해, 밑변이 x인 선분과 높이가 y인 직각삼각형의 빗변의 길이는 √(x^2+y^2)이다.
따라서, √(1+q^2) 에 해당하는 길이를 작도할 수 있다.
이때, tan A=y/x라고 할 때, x와 y가 각각 작도 가능한 길이라면, 각 A도 작도 가능한 각이다.
그러면, tan 72º나 tan 36º의 값을 구할 수 있으면 좋을 것 같다.
이를 위해, cos 36º와 sin 36º를 구해보자. (정오각형을 그려서 기하학적으로 이차방정식 세워서 구할 수도 있고, 복소평면을 생각하면, x^5-1=0의 x의 값을 구해도 된다.)
정오각형에서 구하는 건, 다음 그림을 보면 된다.
이 그림에서, 삼각형 ABF와 삼각형 BEA는 닮음이고, 1:x=x-1:1 이라는 걸 알 수 있다. 그러면, x^2-x-1=0을 풀면 되고, 2cos 36º=x이다.
그렇게 해서 삼각비를 구해 보면 다음과 같다.
sin 36º=√(10-2√5)/4
cos 36º=(1+√5)/4
그러면 tan 36º=√(10-2√5)/(1+√5) 이고, (1+√5)와 √(10-2√5)가 각각 작도 가능한 길이라면, 36º를 작도할 수 있는 것이고, 72º를 작도할 수 있고, 정오각형을 작도할 수 있게 된다.
1+√5가 작도 가능한 길이임을 보이자.
1은 작도 가능한 길이이니, √5가 작도가능한 길이임을 보이면 된다. 근데, 5=1+4이다. 따라서 밑변의 길이가 1, 높이가 2인 직각삼각형을 작도하면, 그 직각삼각형의 빗변의 길이가 √5가 된다. 따라서 1+√5는 작도 가능한 길이이다.
√(10-2√5)는 작도 가능한 길이임을 보이자.
일단, 1은 작도 가능하고, √5가 작도 가능했으니, 6-2√5=(-1+√5)^2 도 작도가능하다.
그러면, 10-2√5=4+6-2√5=2^2+(-1+√5)^2이다.
이때, -1+√5는 작도 가능한 길이이다.
따라서, 밑변의 길이가 2, 높이가 -1+√5 직각삼각형을 작도할 수 있고, 이 직각삼각형의 빗변의 길이가 √(10-2√5)이므로 √(10-2√5)는 작도 가능한 길이이다.
그러면 밑변의 길이가 (1+√5)이고, 높이가 √(10-2√5)인 직각삼각형을 작도할 수 있고, 이 직각삼각형의 한 각은 36º이다.
따라서 36º를 작도할 수 있고, 72º를 작도할 수 있고, 정오각형을 작도할 수 있다!
이로써 정오각형은 작도 가능한 도형임을 설명했다.
이해 안 가는 부분 있으면 질문해 주세요.
