님 학교에서 수학 잘하시죠?

(아니면 이미 대학생이신가...?)

맞습니다. 

좀 더 구체적으로 적자면, 그런 f가 존재한다고 가정한 뒤에
Q를 유리수 집합,
M=max f(Q)
m=min f(Q) 라고 한다면,   (M과 m은 ±∞일 수 있음.)

M-m=0인 경우와,

M>m인 경우로 나눌 수 있죠.


1) M-m=0인 경우
그러면 임의의 무리수는 유리수로 이루어진 수열의 극한값이 될 수 있고, f가 연속함수이므로 f는 상수함수가 됩니다. 유리수이면서 무리수인 실수는 존재하지 않으므로 f(0)과 f(√2)의 값은 서로 달라야 한다는 것에서 모순이 발생하죠. 

2) M>m 인 경우

그러면 f(a)-f(b)>0 인 서로 다른 두 유리수 a, b가 존재하죠. 
그러면 [a, b]U[b, a]는 무한 집합이면서 컴팩트한 구간(닫힌 구간)이 되고, f가 연속함수이므로 사잇값 정리를 쓴다면, (f(a), f(b)) 에 속하는 모든 무리수 ㅁ에 대해, f(x)=ㅁ 을 만족하는 (a, b)∪(b, a)의 원소 ㅁ이 존재하고, 이 ㅁ은 f의 성질에 의해 유리수여야 합니다. 
그러면, I=(f(a), f(b))∩{x| x는 무리수} 라고 하고, A={x | x는 a와 b 사이의 유리수} 라고 하면, I⊂f(A)가 돼죠. 

이때, f(A)는 countable set이고, I는 uncountable set이며, 

countable set의 부분 집합은 언제나 countable set이어야 한다는 것에 모순이 발생하죠.   (참고로 이 정리는 유한 집합도 countable set으로 봅니다.)


따라서 1)과 2)에 의해, 저런 f는 존재하지 않습니다.