수학계에서 최근 100년 내에 나온 난제 중에 콜라츠 추측이라는 것이 있다.
이 문제는 1937년에 콜라츠에 의해 소개되었다.
이 콜라츠 추측의 특이한 점은, 현대에(혹은 근대) 제시된 수학 문제임에도 불구하고, 문제의 내용 자체는 초등학생도 이해할 수 있을 정도로 정말 쉬운 문제이면서 지금까지 해결되지 않은 문제라는 것이다.
이른바 '우박수' 또는 '우박 수열'이라는 이름으로 아는 사람이 많을 것이다. 이는 숫자가 커졌다 작아졌다를 반복하다 결국 1에 수렴하는 걸 비구름에서 빗방울이 오르락내리락하며 우박이 되는 모습에 빗대어 그렇게 부른다.
그러면, 콜라츠 추측에 대해 설명하겠다.
"자연수 n으로 시작해서, n이 짝수이면 2로 나누고 n이 홀수이면 3배를 한 뒤에 1을 더한다. 이 과정을 계속 반복한다.
그러면, 과연 모든 자연수 n에 대해, 이 과정을 반복하면 언제나 1이 될까? " 라는 문제이다.
좀 더 수학적으로 설명하면,
N을 양의 정수의 집합이라고 하고,
C : N -> N을
C(n)={ n/2 (n은 짝수)
{ 3n+1 (n은 홀수)
(종종 C"(n)={ n/2 (n은 짝수) 라고 표현하기도 한다. 사실 별 상관 없다.)
{ (3n+1)/2 (n은 홀수)
라는 함수라고 하자.
그리고 임의의 양의 정수 k에 대해, C^k 을 C를 k번 합성한 함수라고 하자.
그러면, 모든 양의 정수 n에 대해, C^k (n)=1이 되는 양의 정수 k가 존재하는가?"
라는 것이다.
또는 "임의의 양의 정수 n에 대해, A_n={ C^k (n)| k는 양의 정수} 에 대해, min (A_n)=1 이 언제나 성립하는가?" 라고 표현할 수도 있다.
이 min (A_n) 을 그냥 Col(n) 혹은 Col_min (n)이라고 하기도 한다.
당연한 얘기지만 아직 이 추측의 반례는 아직 나오지 않았다. 이미 컴퓨터를 이용해 약 1해까지의 숫자를 넣어보았지만 모두 1에 도달했다.(최근 컴퓨터 연산 결과가 많아져 약 2^68까지 참으로 드러났다. 하지만 이건 겨우 21자리에 불과하다.)
871은 C^178(871)=1이라고 한다. (python으로 175번 돌려보면 정말로 8이 나온다.)
콜라츠 추측과 관련한 간단한 성질로,
2^n에서 시작하면, 당연히 1이 나오고,
2^n-1에서 시작하다면, 3^n-1이 나온다.
더 나아가자면, 충분히 큰 실수 x에 대해,
n({ m∈ N ∩ [1, x] : min A_m = 1}) > x^0.84 가 성립한다고 한다.
그러면, 반대로 함수 C의 패턴을 좀 바꿔서
D(n)={ n/2 (n은 짝수) 라고 하고 콜라츠 추측에 대입해 보면 어떻게 될까?
{ 3n-1 (n은 홀수)
이 경우에는 반례가 존재한다. 5->14->7->20->10->5 ... 로 순환하는 경우가 있다. (근데, 이거 말고 반례는 못 찾았다고 한다.)
이러한 함수 C의 정여역과 공역을 복소수 전체로 확장해서
f(z)=z/2*(cos(z*π/2))^2+(3z+1)/2*(sin(z*π/2))^2 라고 볼 수 있다고 한다. (해 보면 알겠지만, 모든 양의 정수 n에 대해, f(n)=C"(n)이다.)
게다가 이 함수 f는 무한 번 미분이 가능한 함수이다. (즉, smooth한 함수이다.)
그러면, 임의의 복소수 z에 대해서, f^k (z)의 수열을 생각해 볼 수 있다.
참고로 f^k (z)라는 수열이 발산하는 실수 z가 존재한다고 한다.
그리고 이러한 수열에 대해서 발산하는 복소수 z와 수렴하는 복소수 z의 영역을 확인해 볼 수 있다.
참고로, 콜라츠 추측은 f^k (z) 가 수렴하게 하는 복소수 z들의 집합이 N을 부분집합으로 갖냐는 것으로 생각할 수 있다.
그래서 일단은 f^k (z)에 대해서 발산하는 복소수 z와 수렴하는 복소수 z의 경계에 해당하는 점들의 집합을 생각할 수 있고 그 집합을 복소평면에 그려보면, 그 패턴이 프랙탈 패턴이라고 한다.
이게 실수축 부근에서의 콜라츠 맵이라고 한다.
비록 문제를 해결하진 못 했지만,
역시 수학자들은 대단한 사람들이다.
