p_n을 (크기 순으로 나열했을 때) n번째 소수라고 하자. 

그러면 2 이상의 자연수 n에 대해,  (k=1에서 무한) (∑1/p_n^k )=1/(1-1/p_n) =p_n/(p_n-1)=1/(p_n-1) ≤ 1/p_(n-1)이다. 

귀류법을 써 보자.   (사실 증명 방법을 보면 귀류법을 쓰지 않아도 될 것 같다.)

(k=1에서 무한)∑1/p_k 가 수렴한다고 해 보자.

그러면 (k=1에서 무한)∑1/p_k=A 라고 할 수 있다. (A는 실수)

Lemma : 모든 양의 정수 n에 대해, n>ln (n+1) 이다. 

         pf sketch)그래프 그려보면 알 수 있다. 

          y=x 그래프와 y=ln(x+1) 그래프는 x=0에서 접하고, 이후로 x>ln(x+1)이 성립한다. 

         좀 더 구체적으로는 y=ln (x+1)은 기울기가 감소하는 그래프이고, y=x 그래프는 기울기가 일정한 그래프인데, y=ln(x+1)의 x=0에서의           기울기값은 1이다. 

그러면, (k=1에서 무한)∑ln (1+1/p_k) < (k=1에서 무한)∑(1/p_k) =A 가 성립해야 한다. 

이때, ln x+ ln y= ln xy 이다. 

그러면 ln( (1+1/p_1)(1+1/p_2)(1+1/p_3)....)=(k=1에서 무한) ∑ ln (1+1/p_k) < A 이다.

(TMI : 사실 이건 자연로그 함수가 연속함수이기 때문에 성립한다.

좀 더 구체적으로 왜 성립하는지를 밝히자면,

임의의 양의 정수 n에 대해,

S_n=(k=1에서 n까지) ∑ ln (1+1/p_k) 

Q_n=(1+1/p_1)(1+1/p_2)....(1+1/p_n)  라고 하자.

그러면, 모든 양의 정수 n에 대해, S_n=ln Q_n이라는 것은 수학적 귀납법으로 쉽게 보일 수 있다. 

이제 양변에 lim 를 취하면, 

(n은 무한으로) lim Q_n =lim (ln S_n) 이 될 것이다. 이때, ln이 연속함수이기 때문에, lim(ln S_n)=ln(lim S_n)이 성립한다. 

따라서, lim Q_n =ln (lim S_n)이 성립한다.  

연속 함수가 아니라면, lim f(a_n)=f(lim a_n)은 장담할 수 없다.

)

이때 소수의 무한성을 증명한 글인

https://arca.live/b/maths/1159283?p=1 을 읽어보면, 

(각각 k=0에서 무한까지) (∑1/p_1^k )(∑1/p_2^k).....(∑1/p_n^k)..... = (m=1에서 무한)∑1/m 이 되어 발산한다는 것을 알 수 있을 것이다. 

그러면, 여기서 

(∑1/p_1^k )(∑1/p_2^k).....(∑1/p_n^k)..... =(1+1/(p_1-1) )*(1+1/(p_2-1) )*(1+1/(p_3-1) )....이라는 것을 알 수 있고, 

 (1+1/(p_1-1) )은  상수이므로, (1+1/(p_2-1) )*(1+1/(p_3-1) )*(1+1/(p_4-1)).......도 발산한다는 것을 알 수 있다.

그러면, 1<1+1/(p_n -1)≤ 1+1/p_(n-1) 이므로, (1+1/p_1)(1+1/p_2)(1+1/p_3).... 가 무한으로 발산한다는 것을 알 수 있다. 

이때, (k=1에서 무한)∑ln (1+1/p_k)=ln ((1+1/p_1)(1+1/p_2)(1+1/p_3)....) < A 여야 하므로 이는 모순이다.

따라서 소수들의 역수의 합은 무한으로 발산해야 한다. (소수의 역수들은 모두 양수이기 때문에 그 무한합이 진동할 순 없다.

이 간단한 걸 왜 4시간이나 고민했지....