Def) 집합 {p1, p2, p3, .....}을 무한 집합이라고 하자. (원소는 자연수 개수만큼 있음.) 그러면 명제는 다음과 같이 정의된다.

1) 모든 양의 정수 i에 대해, pi는 명제이다.

2) a와 b가 formula이면, (aUb)는 명제이다.

3) a와 b가 formula이면, (a&b)는 명제이다.

4) a와 b가 formula이면, (a->b)는 명제이다.

5) a가 formula이면, ~a는 명제이다.

6) 1)~5)의 유한한 과정을 거치지 않은 기호의 나열은 명제가 아니다.

ex) ~p1, (p1->~~p2), ~~((~(~p1Up3)&p2)->p4) 같은 것들이 명제이다. 

~p1~,  (p1->)p2 같은 건 명제가 아니다. 

(이제부터 명제를 formula라고 하겠다.)

간단한 성질 : 모든 formula의 길이는 유한하며, 임의의 formula에 대해, 그 formula 안에 있는 '('의 개수와 그 formula 안에 있는 ')'의 개수는 동일하다.

Def) L={a|a는 formula}, n을 양의 정수라고 하자. 그러면, 함수 f : L -> {0, 1, 2, ..., n-1}이 다음의 성질을 만족하면, f를 n-function이라고 한다.

1) f((aUb))=min{f(a), f(b)}

2) f((a&b))=max{f(a), f(b)}

3) f((a->b))={ 0 (f(a)≥f(b))

               { f(b) (f(a)＜f(b))

4) f(~a)={ 0 (f(a)=n-1)

           { n-1 (f(a)

Def) n을 양의 정수, L={a | a는 formula}, A를 L의 부분집합, b를 L의 원소라고 하자. 그러면,

Aㅑ(n) b 라는 것은, 임의의 n-function f에 대해, max({f(a)|a∈A}U{0})≥f(b) 를 만족한다는 것이다.

문제) L={a | a는 formula}, A를 L의 부분집합, b를 L의 원소라고 하자. n과 m을 m＜n인 양의 정수라고 하자.

그러면, (Aㅑ(n) b 이면, Aㅑ(m) b) 가 성립함을 증명해라.