우리가 흔히 고등학교 때까지 보는 함수는 전부 실수에서 실수로 가는 함수입니다.

그런데 여기에 정의역 치역을 복소수로 넓혀보는 시도를 한 번 해봅시다.

일단 좌표평면상에 나타내기는 상당히 골때리는군요.

그러나 우리는 여러가지 수학적 도구를 이용해서 이 함수가 어떤 성질을 가지는지 파악할 수 있습니다.

일단 미분을 어떻게 하는지 좀 생각해봅시다.

복소해석학에서는 이 미분가능한 함수를 해석적이라는 거창한 이름을 붙이는데요, 제가 복소해석을 배우고 있는 중이라서 이게 얼마나 어마어마한 건지 잘 모르므로 설명할 수는 없지만 암튼 대단하다는군요.

사실 복소함수라고 해도 미분하는 방법은 똑같습니다. 왜 그 있잖아요 lim(h→0) f(x+h)-f(x)/h 이거요 이거.

그런데 실수야 왼쪽 오른쪽 둘만 있으니 이렇게 해도 문제가 없지만, 복소수는 2차원이니까 화살표가 올 수 있는 방향이 엄청 많아요. 어떤 점 z을 중심으로 하고 반지름 h인 원 아무곳에서나 올 수 있으니 이게 항상 같은 값을 가지는지 도대체 어떻게 압니까.

그래서 z=x+iy라고 했을 때 대표적으로 x만 변하는 경우, y만 변하는 경우를 보려고 합니다.

일단 복소함수 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)라고 하겠습니다.

u, v가 뭐야 하고 당황하실 필요 없습니다.

예를 들어 f(z)=z^2를 갖고 와 보자면,

z^2=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+i2xy이까

u(x,y)=x^2-y^2, v(x,y)=2xy 이렇게 생각하시면 됩니다.

그렇다면 위에서 말했던대로, x만 변하는 경우를 살펴보겠습니다.

Δz=Δx일테고,

미분공식을 적용해보면 분자는

f(z+Δz)-f(z)=

(u(x+Δx,y)+iv(x+Δx,y))-(u(x,y)+iv(x,y))=

(u(x+Δx,y)-u(x,y))+i(v(x+Δx,y)-v(x,y))가 되고요, 그러면

lim(Δz→0) f(z+Δz)-f(z)/Δz=

lim(Δx→0) (u(x+Δx,y)-u(x,y))+i(v(x+Δx,y)-v(x,y))/Δx=

u_x(x,y)+iv_x(x,y)

u_x, v_x는 u,v를 x에 대해 편미분했다는 뜻입니다.

그럼 이젠 y만 변하는 경우를 살펴보겠습니다.

Δz=iΔy겠죠? 그러면

f(z+Δz)-f(z)=(u(x,y+Δy)+iv(x,y+Δy))-(u(x,y)+iv(x,y))=

(u(x,y+Δy)-u(x,y))+i(v(x,y+Δy)-v(x,y))가 되고요,

그러면

lim(Δz→0) f(z+Δz)-f(z)/Δz=

lim(iΔy→0) (u(x,y+Δy)-u(x,y))+i(v(x,y+Δy)-v(x,y))/iΔy=

-iu_y(x,y)+v_y(x,y)

마찬가지로 u_y, v_y는 u,v를 y에 대해 편미분했다는 뜻입니다.

그런데 우리는 미분이 되게 만들어야 합니다. 그러면 위 두 값이 같아야겠죠?

그러면 u_x+iv_x=-iu_y+v_y가 되어야 합니다.

따라서 u_x=v_y, -u_y=v_x라는 식이 나오게 됩니다.

이것을 우리는 코시-리만 방정식이라 부릅니다.

미분가능한 함수는 모두 이 방정식을 만족시켜야 합니다. 반대로 미분이 안 되는 함수는 이걸 만족할 수가 없겠죠?

그럼 좀 전 위에 올린 f(z)=z^2를 생각해보면(일단 얘는 모든 점에서 미분가능합니다), 이 방정식을 만족함을 쉽게 알 수 있을 겁니다.

그렇다면 추가로 생각해볼 거리가 몇 개 있는데요

1. 이것의 역도 성립하는가? 만약에 성립하지 않는다면 어떤 조건이 추가되어야 하는가?

2. 이걸 극좌표 버전으로는 어떻게 만들 수 있는가?(극좌표상에서 복소수 z=re^iθ로 표현됩니다)

정도가 있을 수 있겠습니다.

수학채널 첫 글이라 어색하네요.

쉽게 읽히는 글이었으면 좋겠습니다.