'직접 만들지 않고 추론'이라면 많이 어려울 것 같네요...

여담으로 유클리드의 기하학 원론에 보면 정십이면체를 작도할 때 정육면체의 한 변에 정십이면체의 한 면이 대응되는데, 이걸로 설명이 될 지는 모르겠습니다.

다소 불완전한 증명이기는 한데 각각의 꼭지점에 접하는 면의 숫자가 3개일 수밖에 없으므로, 이를 이용해서 꼭지점 숫자가 20개라는 것을 증명할 수 있을 것 같습니다. 그러면 면의 숫자는 12개가 될 수밖에 없겠지요.

기본적인 아이디어는 이렇습니다. 엄밀하게 증명하려면 다소 까다로운 부분이 있을 것 같습니다만.
(1) 꼭지점들에 접하는 구를 만듭니다.
(2) 구의 중심에서 각 정오각형의 중심을 잇는 직선을 그려서 이 직선이 구와 만나는 점들을 구 위에서 연결합니다. 예컨대 구의 중심을 O, 한 변을 공유하는 정오각형 두 개의 중심을 각각 A, B 라고 하고, OA의 A 쪽으로의 연장선과 구가 만나는 점을 A', OB의 B 쪽으로의 연장선과 구가 만나는 점을 B' 이라고 하고 A'과 B'을 잇는 구 위에서의 직선(즉 대원의 일부)를 A'B' 이라고 합니다.
(3) A'B' 위의 임의의 점 C'에 대해서 C'과 O를 연결해서 이 선분이 정오각형들과 만나는 점을 C 라고 하면, 이러한 C로 구성된 도형은 정오각형들 위의 직선으로 나타나며 이 직선들은 각각 A와 B를 지나고 두 정오각형이 공유하는 변에 수직이 됩니다. 다시 말해서, 공유하는 변에 두 정오각형이 붙어있도록 만든 전개도상에서 A와 B를 연결하는 직선이 됩니다.
(4) 정오각형 상에서 이러한 직선들이 이루는 각도는 360 / 5 = 72도입니다. 따라서 구 위의 A'B' 등도 서로 72도의 각도를 이루게 됩니다.
(5) 각각의 꼭지점은 A'B'과 같은 구 위의 직선(즉 대원의 일부) 3개로 이루어진 삼각형들로 둘러싸이게 되며, 이렇게 꼭지점을 둘러싸는 삼각형들은 구 전체를 덮게 됩니다. 이러한 삼각형들은 내각의 합이 72 * 3 = 216도 이므로 구 전체 넓이의 1/2 * (216 - 180)/360 = 1/20 을 점합니다. 따라서 꼭지점의 개수는 20개입니다.

너무 길어진 감이 있는데, 요점만 따서 말씀드리자면, 

각 꼭지점들을 잇는 구각을 만든 후
정오각형의 중점을 구의 중심으로부터 그 구각에 투영시키면
각 꼭지점은 그렇게 투영된 중점 3개로 이루어진 (구각 위의) 삼각형들로 둘러싸이게 됩니다.
그 삼각형의 면적이 구각의 면적의 1/20 이 된다는 점을 보이는 것입니다. 

그러면 꼭지점의 숫자는 20개가 되므로 면의 수는 (꼭지점 숫자) * (꼭지점당 면의 숫자) / (각 면의 꼭지점 숫자) = 20 * 3 / 5 = 12 임을 보일 수 있습니다.

생각해보니 훨씬 쉬운 방법이 있었습니다. 꼭지점의 수를 셀 것도 없이, 면의 숫자가 12개라는 것을 직접 보일 수 있습니다.

(1) 꼭지점들에 접하는 구를 만듭니다.
(2) 구의 중심에서 정오각형 각 변을 구각에 투영합니다. 그러면 각 변은 구 위의 직선(즉 대원의 일부)가 됩니다.
(3) 각 꼭지점마다 변이 3개씩 붙어있으므로 이러한 구 위의 직선들 사이의 각도는 120도입니다. 
(4) 따라서 구 위의 정오각형들의 내각의 합은 120도 * 5 = 600 도입니다.
(5) 평면 위에서 오각형의 내각의 합은 540도이므로, 구 위의 정오각형의 넓이는 구 전체 넓이의 1/2 * (600 - 540)/360 = 1/12 입니다. 따라서 면의 갯수는 12개입니다.