오늘 할 것

• 광자 통계학이란 무엇인가
• 광자를 세는 법
• 푸아송 빛

1. 광자 통계학이란 무엇인가?

양자광학에서는 빛을 고전적인 파동이 아니라 수 많은 광자의 흐름으로 봅니다.

디텍터(검출기)가 작동하는 시간 동안 광자가 들어오면 반짝! 하고 신호가 감지되는 겁니다.

그러면 생각보다 간단한게 아닌가요? 라고 하실 수 있습니다.

하지만 우리가 주목할 부분은 뭐다? 「수 많은 광자」의 흐름입니다.

양이 많다? 어 이거 어디서 많이 봤는데?

통계역학 또 너야??

네 앞으로 우리는 빛(정확히는 빔)을 광자의 통계학으로 바라보게 될 것입니다.

2. 광자를 세는 법

(거 그림 잘 못 그려도 되잖아요?)

앞으로 Beam을 이러한 형태의 원기둥으로 보겠습니다.

이때 빛의 밝기(Intensity)는 I, 단면적은 A, 단일 광자의 에너지는 입니다.

이런 흐름을 보는 것, 전자기학 하면서 많이 배웠을 것입니다. 광자의 경우도 비슷합니다. 

단위 시간당 면적 A를 통과하는 광자의 수를 앞으로 Photon flux(Φ)라고 합니다. Photon flux 공식은 다음과 같습니다.

자 그럼 빔이 위와 같이 주어질 때, 측정 시간 T동안 검출기에 측정되는 광자의 수는 얼마일까요?

짜잔 새로운 부호 η(에타)가 생겼습니다.

이 에타는 양자 효율(Quantum Efficiency)을 나타내는 값으로, 검출기에 입사되는 광자와 검출되는 광자의 비율입니다.

광자가 검출되는 것도 일종의 확률을 따르기 때문에 이런 항이 생깁니다.

이를 통해서 나중에 재미있는 계산이 가능해지는데, 그건 다음 기회에 보도록 하겠습니다.

참고로 측정 비율(Counting Rate) R 또한 구할 수 있는데, 다음과 같습니다

3. 푸아송(Poission) 빛

이 챕터의 제목은 나중에 파악하도록 하고, 우리는 좀 더 쉽게 Optical Beam을 보기 위해서 다음 가정을 할 것입니다

• 빛은 상수 밝기의 단색(단일 주파수)광이다. 
  따라서 시간 평균 에너지가 고정되며, 단순 진동하는 정적인 전자기파 = 완전히 Coherent한 전자기파 임을 가정한다.
• 빔을 단위 시간 t에 비례해 여러개의 Segment로 분리할 수 있다.
  
  이 때, Segment 내의 평균 광자 수는 다음 식을 따른다
  
• Segment 내의 광자 수는 다르지만 전체적인 평균은 유지되며, Segment 내 광자 수에 대한 확률은 푸아송 분포를 따를 것이다.

자 이렇게 가정을 하고 출발해봅시다.

이제 우리는 이 Segment를 광자가 0또는 1만 존재하도록 아주아주 잘게 자를 것입니다. (같은 위치에 광자가 두 개 존재할 확률은 매우매우 낮으므로 여기선 무시하도록 하겠습니다.)

이를 Sub-Segment라고 합시다.

이 N개의 sub-segment에 n개 광자를 나누는 모든 경우의 수는 이항분포로 생각할 수가 있습니다.

여기서 P는 sub-segment가 광자를 가질 확률로  입니다.

또, 우리는 Sub-segment를 아주아주 잘게 잘랐으니, 무한대로 보내야겠죠? 

그래야 모든 광자를 Sub-segment 안에 분배할 수 있습니다.

이후의 계산과정은 스털링 근사와 테일러 전개를 잘 이용하면 구할 수 있습니다. (혼자 해보시는 것을 추천드립니다. 나만 죽을 수 없지)

짜잔! 푸아송 분포의 꼴이 나오게 되었습니다.

4. 푸아송(Poission) 분포

푸아송 분포는 위와 같은 형태의 그래프를 띄게 됩니다.

이 때 표준편차는  가 되고, 그래프 상에서 FWHM(Full Width Half Maximum)이 됩니다.

또한 빛의 밝기는 푸아송 분포를 따라서 요동이 존재합니다. 

이는 표준 편차에 의해서 결정되며

다음 시간에 Super-Poission Light 부터 천천히 보도록 하겠습니다.

※ P.S 여러분은 독감인거 같으면 병원 잘 찾아가십쇼... 돌팔이 새끼 하나 잘 못 만났다가 일주일 넘게 고생중입니다... 하...