지금까지 나누기 영은 불가능하다고 여겨져왔다. 그 이유는 이렇다.
1. ab=c일 때 a=c/b여야 한다. 그러므로 1×0=0일 때 0÷0=1, 2×0=0일 때 0÷0=2여야 한다 그러나 이 때 0÷0=1=2가 되므로 1=2라는 값이 나온다. 그러므로 모순이다.
2. 나누기 0을 역수로 계산한다 쳐도, 1×(0/0)으로 계산하면 연산기호법칙에 의해 0/0이 되어버린다.


그러나 지금 이 불가능하다 여겨져왔던 사항들을 깨부수겠다.


=1. 영역수=

우선 우리는 새로운 수체계를 등장시킬 필요가 있다. 이는 복소수의 범위 안에서는 값이 나올 수 없기 때문이다. 이는 -1의 제곱근을 나타낼 때 허수라는 새로운 개념을 가져왔던 것처럼 합리적인 일이다.

내가 제안하는 새로운 수체계는 '영역수(a reciprocal of zero)'다. 영역수란 간단히 말해 '0의 역수'이며, 분모에 0이 들어가는 수를 뜻한다.

아까 0/0의 역수는 0/0이라고 했는데 이게 뭔 소리인가 할 수 있다. 그러나 지금 이 개념을 바로잡겠다. 0/0의 역수는 0/0이 아니다. 왜냐하면 a/a=1이므로 0/0=1이기 때문이다. 그렇다면 0의 역수는 무엇인가?

a/1=a이므로(1은 나눗셈의 항등원이므로) 0을 분수로 나타내면 일반적으로 0/1이 되어야 하며, 따라서 0의 역수는 1/0이 되어야 한다.

그렇다면 이 '일반적으로'라는 말은 무엇일까? 0/1이 아닌 다른 경우가 있다는 것일까? 그렇다. 다른 경우가 존재한다.

예를 들어보겠다. 0÷2의 역수는 2/0, 0÷3의 역수는 3/0, 0÷4의 역수는 4/0이 될 것이다. 0÷2, 0÷3, 0÷4의 값은 모두 0이지만 어떤 수로 나눔에 의해 그 값이 달라진 것이다.

그러면 이렇게 말할 수 있을 것이다. '아니, 그럼 0의 역수는 경우가 여러가지인데, 어떻게 하나의 값을 특정할 수 있는가?' 그러나 말한다. 우리는 그 0들의 엄밀한 값을 분류할 수 있다. 그러니까 0÷2와 0÷3이 다르고, 0×2와 0×3이 다르다고 할 수 있다.

그러면 또 이렇게 말할 수 있을 것이다. '아니, 이 4개의 값은 모두 0으로 같은데 뭐가 다르다는 거냐?'

그러므로 나는 새로운 가설을 제시하겠다. 그것은 바로 '0의 밀도'이다.(책에서 무한의 농도 보고 이해는 못 했지만 영감 얻음) 그러나 우리는 0의 밀도를 설명하기 전에 다음과 같은 개념을 알아야 한다.

후술하겠지만 미리 덧붙이자면, 1÷0의 값은 그냥 1/0이다.


=2. 0을 제외한 모든 정수의 최소공배수=
나눗셈이란, 분자와 분모의 공통된 인수를 제거하는 것이다. 그런데 0의 약수는 모든 정수이다. 그러므로 a/0에서 어떤 수가 오더라도 기약분수로 나타내면 a는 소멸되어 1이 되어버린다.(0/0=1도 포함한다.)

이 과정에서 주목할 것이 있다. 바로 '0의 약수는 모든 정수'라는 것이다. 이 성질 때문에 위와같은 식이 가능한 것이다.

여기서 우리는 0을 소인수분해해보자. 0을 소인수분해하면
0×2×2×2×2×....×2×3×3×3×3....×3×5×5...×5×7...이런 식으로 무수히 많은 소수들이 필요할 것이다.

그러므로 우리는 이를 간단히 나타내어보겠다. 위 소인수분해에서 0을 날린 상태, 즉 모든 정수의 최소공배수 M(임의의 수)을 잡으면 이는 0×M으로 간단하게 나타낼 수 있다.

이 과정에서 나오듯이 곱셈과 나눗셈에서 0은 단순히 0이 홀로있다고 보는 것이 아니라 0×M의 상태로 있다고 보아야 한다.

그러면 이 M(모든 자연수의 최소공배수인 임의의 수)이라는 것은 0에 어떤 영향을 주는 지 알아보자.


=3. 0의 밀도 이론=
그러면 0×a  과 0/a에서 0의 상태가 어떻게 되는 지 알아보자.

0×2이라는 식을 자세히 보면 (0×M)×2이 될 것이다. 즉, 이 값은 0×2M이라는 것이다. 또한 0×3을 보자. 이 경우 0을 0×M으로 보면 값은 0×3M이 될 것이다.

똑같이 0/2은 0×(M/2), 0/3은 0×(M/3)이 되는 것이다.

그러므로 잘 뜯어보면 0×2, 0×3, 0÷2, 0÷3은 0×2M, 0×3M, 0×(M/2), 0×(M/3)이 된다는 것이다.

이 때 우리는 이 0들을 구분하기 위해 2M, 3M, M/2, M/3 따위의 0 옆에 붙어있는 수들을 '0의 밀도', 줄여서 '밀도(density)'라고 부르겠다. (밀도라는 말이 싫으면 그냥 꼬리표(tag)나 꼬리(tail)라고 불러도 됨)

밀도에 대해 부연설명을 하자면, 2×0의 밀도는 2M, 0÷3의 밀도는 M/3인 것이다.

이 밀도의 성질을 정리하자면 이렇다.
1. 일반적인 상태에서 0의 밀도는 M이다.
2. 0×a에서 0의 밀도는 aM이다.
3. 0/a에서 0의 밀도는 M/a이다.
4. 0/M에서 0의 밀도는 1이다.

이런 식으로 0의 밀도를 정할 수 있다. 그러면 0의 밀도를 본격적으로 이용하기 전에 0을 분류해보자.


=4. 0의 분류=
0은 크게 3가지로 분류한다. 이들을 통틀어 영(0)이라고 부른다.
1. 평영(normal 0): 0•M. 0×M인 평범한 상태, 즉 밀도가 M인 평범한 0. 우리가 생각하는 일반적인 사칙연산의 0은 평영이다. 특별한 말이 없는 한 0은 모두 평영이다.
2. 순영(pure 0)): 0•1. 0×1인 순수한 상태, 즉 밀도가 1인 순수한 0. 순수한 이유는 1은 곱셈의 항등원이기 때문. 계산을 위해 쓰이는 특수한 수이다.(이름은 순허수를 보고 영감을 얻었다.)
3. 변영(changed 0): 밀도가 M이나 1이 아닌 다른 모든 경우. 즉, 곱셈과 나눗셈에 의해 변형된 상태. 0×2의 값이 대표적인 경우이다.


이들의 특성은 이렇다.
1. a/a=1이므로 평영/평영=1, 순영/순영=1
2. 평영과 순영과 변영은 밀도만 다를 뿐 수학적인 값은 모두 0으로 같다.
3. 모두 정수이다.

그럼 이들이 영역수에서 어떻게 작용하는 지 알아보자.


=5. 영역수의 성질=
영역수의 성질은 이렇다.

1. 영역수는 복소수가 아니다.
그 이유는 1÷0의 값은 복소수로 나타낼 수 없기 때문이다.

2. 영역수는 무한이다.
1/0은 무한이라는 사람들이 있는데, 맞는 말이다.
그 이유는 a÷b란 a에서 b를 몇 번 빼야 0이 되느냐를 구하는 것인데, 1÷0에 적용해보면 1-0=1, 1-0=1....이렇게 아무리 해도 끝나지 않기 때문이다.

3. 영역수는 밀도에 의해 차이가 발생한다.
그러니까 2÷0과 3÷0의 차이는 밀도에서 난다는 것이다. 이는 0의 분류법과 같은 방법이다.


=6. 영역수의 표기법=
영역수의 표기법은 2가지가 있다. 참고로 1÷0은 그냥 1/0이다.

1. 0 옆에 밀도를 표기
2÷0은 2÷(0•M)(•은 곱셈기호)과 같고, 계산하면 2/(0•M)이다. 이 때 M은 모든 정수의 최소공배수이므로 약분하면 1/{0•(M/2)}이다.
이는 실질적인 밀도를 보여주는 표기법이다.

2. 기약분수하지 않고 표기
2÷0을 그냥 2/(0•M)으로 표기하는 것이다. 이게 끝이다.
이는 이렇게 하는 것이 더 직관적으로 보기 편하며, 이렇게 표기해도 계산 시 문제가 없기 때문이다.


=7. 0이 들어간 식의 계산(M식 연산법)=
그럼 이제 가장 중요한 0으로 나누기의 계산법을 알아보겠다.

0이 들어간 식을 연산하기 위해서는 특별한 방법이 필요하다. 이는 라마누잔 합을 계산할 때 특별한 방식으로 풀어애 했던 것과 일맥상 통한다.

이 연산법을 특수한 수 M(밀도)이 들어간다고 해서 M식 연산법이라 칭하겠다.

M식 연산법의 규칙은 간단하다. 이 2가지 순서만 지키면 된다.
1. 모든 0 옆에 밀도를 표기한다. 참고로 특별한 언급이 없는 한 0의 밀도는 모두 M이다.
2. 0을 문자처럼 취급한다. (여기 초중요)

0을 문자처럼 취급한다니, 무슨 말일까? 사실 0을 문자처럼 취급해주지 않으면 큰 모순이 일어나기 때문이다. 그 예를 들자면, 그것은 바로 부분분수이다.



⬆️여기는 사진으로 대체


⬆️M식 연산법 도입 예시 사진 (밑에는 까먹고 M 안 넣음. 근데 M 안 넣어도 솔직히 상관 없어서 그냥 올림.)

참고로 M식 연산법에서는 0을 문자처럼 취급하므로 이런 특성이 나타난다.
1. a+0은 a가 아니라 그냥 a+0으로 한다.
2. a-0은 a가 아니라 그냥 a-0으로 한다.
3. a×0은 a가 아니라 그냥 a×0으로 한다.
4. 0÷a는 0이 아니라 그냥 0/a으로 한다.

참고로 M식 연산법은 0의 곱셈과 나눗셈이 들어가는 식에서야 그 진가가 발휘된다. 그 이유는 덧셈과 뺄셈은 약수랑 상관이 없어 M이 들어갈 일이 없고, 사칙연산 특성 상 나누기 0이 쓰일 일이 없기 때문이다.



=8. 요약=
1. 1÷0의 값은 그냥 1/0이며, 이런 식으로 분모에 0이 오는 수를 영역수라고 한다.
2. 0의 약수는 모든 정수이기 때문에 그 원래 형태는 0×M이다.(M은 0을 제외한 모든 정수의 최소공배수) 여기서 M을 0의 밀도라고 한다.
3. 0의 곱셈과 나눗셈을 계산할 때는 0 옆에 밀도를 표기하고 0을 문자처럼 취급해서 푼다.(M식 연산법)