도넛처럼 생긴 회전체의 부피를 구하는 법: 도넛 바깥쪽의 곡면으로 인해 생기는 회전체의 부피 -도넛 안쪽의 곡면으로 인해 생기는 회전체의 부피

그래프 그려보면 x축 위로 ^ 모양일 것임. 
(중심이 원점이고 양 끝단이 3과 -3)
이 상태에서 x=5를 중심축으로 회전하면..
^-^의 모양이 될 것

그러면 바깥쪽 곡면은 r= 5+sqrt(9-y)의 회전체,
안쪽 곡면은 r=5-sqrt(9-y)의 회전체가 되고,
이제 pi*r(y)^2를 y에 대해서 0부터 9까지 적분하면 각 회전체의 부피가 나옴.

그리고 바깥쪽 회전체의 부피 - 안쪽 회전체의 부피를 구하면 답이 나옴

약간 뭘 끼우고 싶은읍읍 모양이 나오는데 y×Δr×2πr 도넛적분 쓰시면 됨다

위 댓글처럼 기본적으로는 2pi*r*dA 적분하면 되는데 파푸스 굴딘 정리 쓰면 간단함. 굳이 일반화된 정리 안써도 이 예제는 다음과 같이 이해하기 쉬운 방법으로 적용 가능함. x>0이고 영역 안에 있는 무한소 영역에 대해서 y축 대칭인 영역이랑 묶으면 2pi*(5-x)*dA + 2pi*(5+x)*dA = 20pi * dA이고 dA 왼쪽이 상수라서 문제 답은 20pi * (영역 면적) / 2가 됨. 영역 면적은 9 * 6 * 2/3 = 36 이렇게 구하면 되고 따라서 적분 하나도 안써도 풀수 있음.