그거 Rudin 1챕터에 바로 나오는데. 
데데킨트 컷

주로 쓰는 방법은 
1. 데데킨트 컷
2. 유리수 수열 중 Cauchy 수열로 구성.

정 모르시겠으면 나중에 정리해 드릴까요?

무한대에 대한 개념을 보다 정확히 하면, 2번도 나름 해결이 될 겁니다. 

1. 수학에서 무한대의 개념은 보통 2가지의 경우로 쓰입니다.
하나는 무한을 극한의 결과 중 하나로 보는 관점이고,
다른 하나는 무한 자체를 수로 보는 관점입니다. 


1-1) 무한을 극한의 결과로 보는 관점.
주로 고등학교에서 주장하는 관점입니다. 

이 경우에, 어떤 실수열 a_n에 대해서, lim a_n (n은 무한으로) = 무한 

이라는 것은, 
임의의 실수 x에 대해, (그 이후의 수열값이 x 이상이 되는 자연수 n)이 존재한다는 것입니다.   
(좀 더, 수식적으로 쓰면, 모든 실수 x에 대해, 어떤 자연수 n이 존재해서 n 이상의 모든 자연수 m에 대해, a_m≥x 이다.)

정확히 저 의미입니다. (혹은 수열이 아니라 함수로 보거나 복소수열로 놓을 수도 있지만 말이죠.)

그리고 이때, 이러한 무한은 수의 개념이 아니기 때문에 무한 사이에 사칙 연산 등은 제대로 정의되지 않습니다. 

1-2)무한을 수로 보는 관점
이 경우에는, 우리가 아는 실수 체계를 더 확장한 것이라고 볼 수 있습니다. 
어떤 집합의 확장이라는 것은 대체로 기존의 그 집합의 원소가 아니었던 무언가를 새로운 원소로 추가하여 원래 집합의 원소 사이의 관계를 새로 정의를 해주면서, 그렇게 새로운 집합을 만드는 것입니다. 
대표적으로, 자연수 집합을 확장해서 정수 집합이 됐고, 정수 집합을 확장해서 유리수 집합, 유리수 집합을 확장해서 실수 집합, 실수 집합을 확장해서 복소수 집합이 되는 정도가 있겠습니다.

근데, 한 집합에 대해 확장의 방법은 매우 다양하게 있을 수 있죠. 
실수 집합에서 무한이라는 것을 새로운 수로서 추가한 집합을 보통 extended real number(확장된 실수 체계) 이라고 합니다. 
실수 집합에 '+무한', '-무한' 의 두 가지 원소를 새로 집어 넣은 것입니다. 

그리고, +무한, 실수, -무한 사이에 대소 관계를 정의하고,(+무한은 -무한과 모든 실수보다 큰 원소), (-무한은 +무한과 모든 실수보다 작은 원소)

다음과 같이 사칙 연산을 부분적으로 정의합니다. 

((-무한)*(-무한))=((+무한)*(+무한))=(음의 실수*(-무한))=((-무한)*음의 실수)=((양의 실수*(+무한))=((+무한)*양의 실수)=((+무한)+(+무한))=(실수+(+무한))=((+무한)+실수)=+무한,

((-무한)*(+무한))=((+무한)*(-무한))=(양의 실수*(-무한))=((-무한)*양의 실수)=(음의 실수*(+무한))=((+무한)*(음의 실수)=((-무한)+(-무한))=(실수+(-무한))=((-무한)+실수)=-무한

실수/+무한=실수/-무한=0
그리고 수열의 극한에서는 극한값이 무한이라면, 확장된 실수 체계에서는 수렴을 하는 것이고, 실수 체계에서는 발산하는 겁니다. 


그리고 공통적으로, 위 1-1)과 1-2) 모두, 무한은 실수가 아닙니다. 

2) '만약 1+2+3+4+....=무한대라면 1+n=무한대이고 n=무한대-1 일텐데' 에서, n이 무엇인지를 제대로 말씀 안 해주셨습니다만,
일단, n을 1-2)에서의 무한으로 본다면, 1+n=무한대이고 n=무한대-1 이 성립합니다. 
극한의 결과로 보는 관점에서도 대충 사칙연산을 부분적으로 정의할 수는 있겠습니다만, 그건 정의했을 때 얘기.

그리고 참고로, 1+2+3+4+.... 자체가 극한의 개념을 포함하는 수식입니다. 무한급수의 정의를 보시면, 부분합이라는 수열의 극한으로 정의합니다. 

그리고 1-1) 관점에서도, '무한은 극한이다.' 보다는 '무한은 극한의 결과 중 하나'이다.  라고 표현하는 게 더 나을 것 같습니다.