AB, BC, CA의 중점을 각각 K, M, N이라 하면 삼각형 ABC는 삼각형 AKN, BMK, CNM, KMN 4개로 나누어지며, 이 네 개의 삼각형은 넓이가 같음을 쉽게 보일 수 있습니다.
삼각형 ABC에 점 9개를 찍는다고 할 때, 4개의 삼각형 중 어느 한 곳에 점이 3개 이상 들어가지 않으면 찍을 수 있는 점의 최대 개수는 2*4=8이 되어 모순입니다. 따라서 AKN, BMK, CNM, KMN 중 어느 한 삼각형 안(경계 포함)에 3개 이상의 점이 들어가게 되며, 이 세 개의 점을 이은 삼각형은 ABC의 1/4 넓이를 가진 삼각형 안에 들어가므로 ABC의 1/4 이하의 넓이를 가지게 됩니다.

점 하나는 일직선에서 벗어나야 하겠죠.

(P->Q)에서 P가 거짓이면 준 명제는 참이라는 것과 관련이 있는 것 같은데,

그러려면 아마 문제를

 이 9개의 점 중 서로 다른 3개의 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 있을 때, 이 삼각형들 중에 삼각형 ABC 넓이의 1/4 이하가 되는 삼각형이 존재함을 증명해라.  

라고 해야 되지 않을까요?

여기서는 특정 조건을 만족하는 삼각형 중에 ~~한 삼각형이 존재한다는 것을 증명하라고 했으니, 특정 조건을 만족하는 삼각형의 존재성도 증명해야 한다고 생각합니다. 


(ex. 대충 비슷한 예를 들면,
홀수이면서 짝수인 자연수 중에 2의 배수가 존재한다. 는 거짓.
홀수이면서 짝수인 어떤 자연수 x에 대해, x는 2의 배수이다. 는 참. 

혹은 

공집합의 원소 중에 무한집합이 있다.   는 거짓.   
x가 공집합의 원소라면, x는 무한집합이다.  는 참.
)

일단 점 9개 중에서 3개로 이루어지는 삼각형이 존재한다고 가정해보지요. 즉 9점이 모두 한 직선위에 있지는 않다고 하면, 다시 말해서 모두 한 직선 위에 있지는 않지만 한 직선 위에 있는 3개 이상의 점들이 존재한다고 하면 그래도 문제의 명제를 증명할 수 있을까요? 이 경우 4분 삼각형 하나에 있는 세 점은 삼각형을 이루지 않을 수 있습니다.

그리고 점이 9개가 아니라 6개면 어떨까요?