반갑습니다. 오랜만입니다.
시험(조진다라고 읽고 조져진다라고 쓰는 것)을 치르고 왔습니다.
독감+폐렴+몸살의 3중 콤보는 대단하여 제 시험기간의 일주일을 뺐어갔습니다...
오늘 할 것
- 푸아송 분포와 표준편차
- 푸아송 분포에 따른 빛
Notation 정리
우리는 저번 시간에 광자의 흐름인 빛의 밝기는 푸아송 분포를 따르며, 표준편차를 따라 요동이 존재한다.
위 지식을 가지고 천천히 따라가봅시다.
1. 푸아송 분포란 무엇인가?
푸아송 분포는 이항 분포와 같은 확률 분포의 일종이며, 푸아송이라는 사람이 만들어서 푸아송 분포라는 이름이 붙었습니다.
여러가지 수학적 정의가 있지만, 우리가 뭐 수학과도 아니고 원하는 성질만 쏙 빼서 보겠습니다.
1) 이상적인 푸아송 분포의 n은 무한대로 간다.
2) 푸아송 분포에서는 기댓값(=평균값)과 분산이 동일하다.
저번 내용을 통해 다시 살펴보자면 푸아송 분포의 n이 무한대로 가는 이유는 우리가 Sub-Segment를 무한대로 쪼갰기 때문입니다. 그리고 이렇게 n이 무한대인 상황에서 기댓값과 분산은 동일해지게 됩니다. (지난 내용의 3번 챕터를 살펴보시면 좋습니다)
따라서 푸아송 분포는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있습니다. (k = 사건 수, λ = 기댓값)
우리가 저번에 Optical Beam에서 광자의 확률 분포를 어떻게 구했죠?
식의 형태가 완전 똑같습니다. 즉, 푸아송 광자 통계학에서 기댓값은 Segment의 평균 광자 수, 사건 수는 Segment가 실제로 가지는 광자 수가 됩니다.
2. 푸아송 분포의 표준편차
자 그럼 우리는 이제 기댓값, 분산을 알았으니, 표준 편차도 구할 수 있겠죠?
표준편차의 정의는 다음과 같습니다
그런데 분산은? 표준편차의 제곱이죠?
따라서 위의 관계가 성립하게 됩니다.
근데 여기서 곰곰히 생각해 봅시다.
Segment가 표준편차를 가진다는 건 무슨 의미일까? -> Segment가 가지는 광자 수가 확률에 따라 평균에서 벗어날 수가 있구나!
Segment의 광자 수가 다르면 무슨 일이 일어나는거지? -> 광자 수와 밝기는 비례하니까 Segment의 Intensity가 달라지는구나!
근데 저번에 Segment를 나눌 때 시간 단위로 나눴으니까... -> 시간에 따라서 밝기는 다르구나!!!
이게 바로 양자 광학의 주요 개념 중 하나 요동(Fluctuation)입니다.
빛을 광자의 흐름으로 본다면, 생길 수 밖에 없는 기초적인 성질입니다. (물론 없는 경우도 있습니다)
3. 푸아송 분포에 따른 빛
그래서 저번 주에 요동의 크기에 따라 빛을 분류할 수 있다! 까지 하고 끝났습니다.
지금 와서 생각해보니 위 요동에 관한 이야기를 했어야 했는데, 이런 글이 처음이라 생각만큼 잘 써지진 않네요. 죄송합니다.
아무튼! 글씨는 좀 이상하지만 푸아송 분포와 표준편차의 관계는 다음과 같습니다 (Poission은 오타가 맞습니다. Poisson 입니다.)
가장 기본적인 상태는 Poissonian Light, 표준편차가 기댓값의 제곱근과 동일합니다. 고전적으로 완벽히 Coherence한 빛과 같습니다.
표준편차가 기댓값의 제곱근보다 크면, Super-Poissonain Light, 고전적으로는 이상적이지 않은 빛과 같습니다.
표준편차가 기댓값의 제곱근보다 작으면 Sub-Poissonian Light, 대응되는 고전적인 빛은 없고, 양자적 현상이 뚜렷하게 나타납니다.
추가적으로 이 때 주의할 점은, 세 빛의 평균은 동일합니다! 오직 분산만 다르게 나옵니다.
이를 그래프로 그리면 다음과 같습니다.
Sub에서 Super 쪽으로 갈수록 그래프가 점점 퍼지는 형태인 것을 알 수가 있습니다.
Super Poisson과 Sub Poisson은 한번에 다루는게 좋겠다 싶어 이번엔 여기서 글을 마칩니다.
다음 시간에는 각 Poisson light의 대표 광원과, 유도 과정에 대해서 설명드리겠습니다
오타나 오류 지적은 언제나 환영입니다.
