1. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}n=S}로 두고 다음과 같은 합을 생각하자.

 S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . 
 S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . .  
 S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . .  
 S =       + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . 
--------------------------------------------
4S = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . 

그러므로, {\displaystyle S={\frac {1}{4}}}이다.

2. 다음과 같은 식이 성립한다:

이제 양변을 미분하면,

이므로,

이다.

위 식에 {\displaystyle x=1}을 대입하면, 다음을 얻는다.