a,b,c,d는 한 자리 자연수
1100a+11b=(10k+l)^2에서 일단 k는 4보다 크거나 같고, b는 0,1,4,5,6,9 중 하나
1)b=0, 1100a가 완전제곱수 꼴이 되므로 X
2)b=1, 1100a+11=11(100a+1)인데 100a+1이 11*완전제곱수 꼴이어야 하는데 맨 끝자리가 1로 끝날라면 결국 1로 끝나는 완전제곱수를 곱하는 수밖에 없음, 1 다음으로 큰 완전제곱수는 81인데 11*81=891이므로 X, 당연하지만 이보다 큰 121을 곱하면 4자리수가 되어서 X
3)b=4, 1100a+44=11(100a+4)=44(25a+1)에서 44=2*2*11이므로 25a+1이 11*완전제곱수 꼴이면 성립 (추후)
4)b=5, 1100a+55=11(100a+5)=55(20a+1)인데 55=11*5 이므로 20a+1은 11*5*완전제곱수 꼴, 근데 55의 배수 중에 맨 끝자리가 1로 끝나는 경우는 없으므로 X
5)b=6, 1100a+66=11(100a+6)=22(50a+3)에서 22=11*2이므로 50a+3=11*2*완전제곱수 꼴, 근데 22의 배수 중에 맨 끝자리가 3으로 끝나는 경우는 없으므로 X
6)b=9, 1100a+99=11(100a+9)에서 100a+9는 11*완전제곱수 꼴이어야 하는데 맨 끝자리가 9로 끝날라면 결국 9로 끝나는 완전제곱수를 곱하는 수밖에 없음, 그럼 9, 49, 169가 있는데 11*9는 두자리수, 11*169는 네자리수라 결국 11*49를 곱해야 함, 계산하면 알겠지만 490+49=539라 100a+9 꼴이 안 됨
아까 추후로 남겨뒀던 b=4건을 다시 꺼내오면 25a+1은 11*완전제곱수 꼴이 되어야 함. 25a+1=22a+3a+1이라 저걸 11로 나눈 나머지는 3a+1를 11로 나눈 나머지와 동일한데, 이게 0이 되려면 7밖에 답이 없음.
a=7일 때, 25a+1=176=11*(4^2)이라 성립! 고로 a=7 b=4라 7744, 곱하는 수는 11*11*4*4*4에 루트씌우면 11*8=88
물론 영재니 뭐니 집어치우고 순수 노가다로 풀었습니다^^
