수학에서 완전수(Perfect number)는 자기 자신을 제외한 약수를 더했을 때 자기 자신이 되는 양의 정수를 말하는데
최초 네 개의 완전수는 6, 28, 496, 8128이다.
6 = 1+2+3
28 = 1+2+4+7+14
496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248
8128 = 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064
33550336 = 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+4096+8191+16382+32764+65528+131056+262112+524224+1048448+2096896+4193792+8387584+16775168
완전수는 2^(n-1)×(2^n-1)에 알맞은 수를 대입해 구할 수 있다.
레온하르트 오일러는 모든 짝수 완전수가 2^(n-1)×(2^n-1)의 형태라는 것을 증명하였다. 현재까지 알려진 모든 짝수 완전수들은 2^(n-1)×(2^n-1)의 형태로 존재하며 2^n-1이 소수인 경우에 완전수가 된다.
2의 거듭제곱에서 1이 모자란 숫자를 메르센 수라고 하며 메르센 소수는 메르센 수 중에서 소수인 수이다. 2^n-1이 메르센 소수이면 n도 소수이다. 하지만 n이 소수라고 2^n-1이 언제나 소수인 것은 아니다. 11은 소수이지만 2^11-1은 2^11-1=2047=23×89로 소인수분해 된다. 메르센 소수와 짝수 완전수는 일대일 대응이다.
n=2 일때 2^(2-1)×(2^2-1)=6
n=3 일때 2^(3-1)×(2^3-1)=28
n=5 일때 2^(5-1)×(2^5-1)=496
n=7 일때 2^(7-1)×(2^7-1)=8128
n=13 2^(13-1)×(2^13-1)=33550336
지금까지 발견된 모든 완전수는 짝수이며 아직 홀수 완전수는 발견되지 않았다. 어쩌면 홀수 완전수는 없을수도 있다. 또한 메르센 소수의 수가 유한한지 무한한지는 모른다. 그러므로 짝수 완전수의 수가 유한한지 무한한지조차 증명되지 않았다.
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31
완전수: 자기 자신을 제외한 약수를 더했을 때 자기 자신이 되는 양의 정수
짝수 완전수: 짝수인 완전수
홀수 완전수: 홀수인 완전수 아직 발견되지 않았다. 없을수도 있다.
약수: 어떤 수를 나누었을 때 나머지가 0이 되는 수.
메르센 수: 2의 거듭제곱에서 1이 모자란 숫자
메르센 소수: 2^n-1이 소수인 수 (자세하게 알아보고 싶으면 구글링으로 알아봐라)
개인적인 생각:홀수 완전수가 존재한다면 홀수 완전수는 아주 큰 수일것 같다.
