K순열을 찾아라! 풀이 - 잡담 기록 채널

원동역님이 앞서 올리신 풀이 : https://arca.live/b/talk/337673

https://arca.live/b/quiz/336616 문제링크입니다.

문제는 다음과 같습니다.

ABCDabc 7문자를 빠짐없이 사용하여 만든 7자리 순열들 중에서 소문자가 대문자의 오른쪽에 있는 순열을 K순열이라 정의한다.

K순열을 원소로 가지는 집합 O, P, Q, R, S가 있다.

O={a|a는 K순열이며 마지막 세자리가 bca}
P={a|a는 K순열이며 마지막 자리가 c}
Q={a|a는 K순열이며 A가 B나 C보다 왼쪽에 있다면 D가 B와 C의 오른쪽에 있다. 그리고 a는 다섯째 자리가 a또는 c이다.}
R={a|a는 K순열이며 네번째 자리가 C이며 다섯째 자리가 c}
S={a|a는 K순열이며 a∉O∪P∪Q∪R}

Q의 조건에 대한 이해를 돕기 위해 예를 들겠다.
예를 들어 BADCabc는 Q의 원소가 아니다. 한편 DBCAabc는 Q의 원소이다.

Fine : K순열의 다섯째 자리가 b라면 Q에도 R에도 속하지 않아.
영희 : 집합 S에서 원소를 임의로 선택했을 때 마지막 자리가 b일 확률은 마지막 자리가 a일 확률보다 커.
수연 : K순열의 첫번째 자리가 D이고 마지막 자리가 a라면 이 순열은 S에 속해.
민석 : K순열의 네번째 자리가 B이고 다섯번째 자리가 c라면 이 순열은 S에 속해.

임의의 K순열을 선택했을 때 그 순열이 S집합에 속하고 마지막 자리가 a일 확률을 ㉠이라고 하자.

㉠에 1000을 곱하고 소숫점 이하는 버려라. Fine이 정답이면 +8, 영희가 정답이면 +4를 하라. 그 다음에 수연이 정답이면 0.8을 곱하고, 민석이 정답이라면 1.2를 곱하여라. 이때 나오는 숫자를 적으세요.

풀이 :

S집합이 정확히 무엇을 의미하는지를 찾는게 최종 목표일 것 같습니다.

우선 Q집합의 조건을 다시 살펴보겠습니다.

Q={a|a는 K순열이며 A가 B나 C보다 왼쪽에 있다면 D가 B와 C의 오른쪽에 있다. 그리고 a는 다섯째 자리가 a또는 c이다.}

진한 글씨체 부분을 해석해봅시다.

i) A가 B, C보다 오른쪽에 있는 경우, D는 어떤 위치에 있어도 상관이 없습니다.

ii) A가 B나 C보다 왼쪽에 있다면, D는 B와 C의 오른쪽에 있어야 합니다.

그런데 이 두가지 경우 모두 네번째 자리에 A혹은 D만이 올 수 있습니다.

그러니 ii)의 경우에서 A가 B나 C보다 왼쪽에 있을 때, D역시 B나 C의 왼쪽에 있는 경우를 생각해봅시다.

이 경우 네번째 자리에 A와 D가 절대 올 수 없습니다.