방정식과 함수에서 기본적인 내용은 설명했으므로 여기서는 해법에 대하여 설명하겠다.


우선 

일차식은 매우 간단하다.

3x+11=5를 만족하는 x값을 구해보자.

양변에 -11을 가하자.

3x+11-11=5-11   3x=-6

그리고 /3을 가하자.

3x/3=-6/3   x=-2

참 쉽죠?




이차식을 풀어보자.

이차식은 해법이 2가지이다.

첫번째는 인수분해법이고, 두번째는 계산법이다.


x^2+4x-5=0을 풀어보자.

풀기에 앞서, 우리는 인수분해에 대해 알아보자.

인수분해란 위의 식과 같은 고차식을 그보다 낮은 차수의 항들의 곱으로 표현하는 방법이다.

위의 식은 (x+5)(x-1)=0으로 인수분해된다.

그럼 여기서 우리는 위의 식을 만족하는 값을 x+5=0과 x-1=0을 만족하는 값이라는것을 알 수 있다.

즉, x=-5 or 1이라는 것을 구할 수 있다.


다음으로 계산법을 사용해 보자.

같은 식 x^2+4x-5=0을 풀어보자.

(x^2+4x+4)-9=0으로 바꿀수있다.

그럼 우리는 x^2+4x+4=9라는 식을 도출할 수 있고, 이를 인수분해해서 (x+2)^2=9를 구할 수 있다.

그럼 x+2=t로 정의해 보자.

t^2=9 만족시키는 t의 값은 3과 -3이란 것을 우리는 알 수 있다.

그럼 x+2=t이므로 x=1 or -5라는 것을 알 수 있다.

위의 결과와 동일하다.


근의공식? 쓰지마라. 도움도 안되고 수학을 방해하기만 한다.



삼차함수를 생각해 보자.

우선 삼차방정식의 해법을 다루기 전에 근의공식을 보여주겠다.

위와 같다.

즉, 우리는 근의공식을 이용하지 못한다.

저걸 외워서 사용하는것은 미친짓이다.


그럼 우리는 무엇을 이용해서 3차방정식을 풀어야 하는가?

인수분해와 치환이다.

예시로 다음과 같은 방정식을 풀어보자.

x^3+4x^2-6x+1=0

우리는 이것을 단순히 봐서는 인수분해를 할 수 없는것처럼 보인다.

그런 우리에게는 한가지 위안이 있다.

조립제법과 근의 성질을 이용한 항의 발견이다.


위를 설명하자면... 고차항을 인수분해하는 방법이다.

조립제법은 글로 설명하기 힘드므로, 다른 시각적자료를 찾아볼것을 권한다.

그리고 근의 성질을 이용한다는 것은,

f(x)라는 식이 있을때 f(x)=0을 만족하는 x=a라는 값이 존재할때,

f(x)=(x-a)g(x)로 인수분해 될 수 있다는 것이다.

이에 대한 증명은 x=a를 대입해 보면 쉽게 이해할 수 있을것이다.


그럼 다시 문제로 가보자.

x^3+4x^2-6x+1=0

위의 식에 x=1을 대입하면 1은 근임을 확인할 수 있다.
조립제법을 통해 인수분해하면 (x-1)(x^2-5x-1)=0을 구할 수 있다.
그럼 나머지는 x=1이 아닌 근을 구하면 되므로 양변에 /(x-1)을 가할 수 있다.
그러면 이차방정식이 나오므로, 풀수 있게된다.

치환은 4차방정식에서 다뤄보자.


4차방정식은 3차방정식과 해법이 같다.
역시 근의 공식은 너무 어려우므로 버린다.
위에서 조립제법을 설명했으니 여기서는 치환을 설명하겠다.
x^4-3x^2+2=0의 해를 구해보자.
x^4-3x^2+2=0을 잘 보면 우리는 x^2=t로 치환할 수 있음을 알 수 있다.
t^2-3t+2=0 우리가 익숙한 이차방정식이 나왔다.
근을 구하면 t=2 or 1이다..
t=x^2이므로 x=sqrt(2) or -sqrt(2) or sqrt(3) or -sqrt(3) 임을 알 수 있다.

이처럼 치환을 통해 식을 간단히 하거나 차수를 낯춰서 풀수 있다.
다음으로는 다항 방정식이 아닌 방정식에 대해 다뤄보자.


여기 식 f(x)가 있다.
그 식의 그래프는 다음과 같다.

f(x)=5를 만족하는 근은 무엇인가?
바로 f(x)=y 와 y=5의 교점임을 알 수 있다.
즉 우리는 교점이 바로 근임을 알 수 있다.

더 나아가 x^2-3x=2x의 근을 구해보자.
원래는 이항해서 풀겠지만 그래프를 이용하면 다음과 같음을 알 수 있다.

우리는 근이 x=0과 x=5임을 알 수 있다.



다른 방법으로는 뉴턴랩슨법과 같은 근사법이 있다만...
여기서는 생략하도록 한다.