1에 무한히 가까운거랑 1은 엄밀히는 다른거긴 하다더라

ㅇㅇ. 귀류법으로 풀면 증명 쉽게 할 수 있음

그거 은근히 논란 많음 ㅋㅋㅋ 어쨋든 1하고는 10^(-∞) 의 차이가 있다면서

허허...
극한을 배우면 어떻게 다른지 알수 있다네...
0.999999.....=x라고 하고, 이 x를 1에 한없이 가까운거라 정의하자.
그럼 (x^2-1)/(x-1) 을 생각해 보자.
x를 1이라고 대입해서 풀면, 분모가 0이 되어 계산이 불가능.
그러나, 위의 식을 인수분해해보면 (x+1)(x-1)/(x-1) 이 되고
약분이 되버리네. 하지만 x에 1을 대입하면 x-1=0이 되버리는데, 이때 한없이 x가 한없이 1에 가까운 수라는 점이 적용되어 x-1은 한없이 0에 가깝지만 0은 아닌 수가 되버린다네.
그렇게 약분이 가능해 지므로 위의 식은 x+1이 되는데, 이때는 x를 1에 한없이 가까운 수이므로 x+1을 2라고 봐도 무방하다.라고 하고,

내 논리는 이거임
 1-0.99999...를 빼면 0.0000...1이 되는데
0.9999...에서 9가 끝없이 계속되므로
 0.000...1에서도 0이 끝없이 나오므로, 소수점 이하의 어떤 지점을 잡아도 0이 된다
즉 1-0.99999...=0.000...인데, 이 수에서 어떤 지점을 잡아도 0이니 그 값은 0이라고 할 수 있다
임

우선, 근본적인 질문부터 던지자면,
0.9999.... 은 실수인가요?

우선, 해석학을 잘 하진 않지만, 조금은 공부한 입장에서 써 드리자면,
0.9999999......라는 것을 정의하는 거부터 시작해야 합니다.

정의하는 방법은 여러 가지가 있을 수 있지만, 한 가지 방식은
0.9999.... 을 무한 급수로 다음과 같이 정의하는 것입니다.
0.999...=(n은 1에서 무한까지) sigma 9/10^n

그러면 여기서 무한 급수의 정의를 알아야 겠죠. 
간략하게 무한 급수의 정의는 (초항부터 N번째 항 까지의 합)의 극한으로 정의되는데.

모든 자연수 N에 대해, S_N=(n은 1에서 N까지)sigma 9/10^n 이라고 정의를 하면,
S_N은 유한 개의 유리수의 합이므로 각각 잘 정의된 실수입니다.  (여기서, 수학의 엄밀성을 정말 좋아한다면 유한 개의 유리수의 합이 유리수라는 것도 의문을 가질 수 있는데 이는 수학적 귀납법을 쓰시면 됩니다.)
따라서 {S_n}은 실수열이 됩니다. 실수열이 되었으니, 이제 이 실수열의 극한이 잘 정의가 됩니다. 
그리고 (n은 1에서 무한까지)sigma 9/10^n =(N이 양의 무한으로 갈 때) lim S_n 이라고 정의를 합니다.

참고로 여기서 S_1은 0.9, S_2는 0. 99입니다. 

그러면 이제 (n이 양의 무한으로 갈 때) lim S_n 이 수렴을 하는지 봐야 하고, 수렴한다면, 그 극한값이 0.999.... 라는 것입니다. 
그러면 S_n이 실수 안에서 수렴하고, 그 수렴값이 1이라는 것을 보이면 0.99999...=1이라는 것을 보일 수 있습니다. 

그리고 S_n은 엡실론-델타 논법이라는 극한의 정의를 쓰면, 일반적인 metric이 주어진 실수 공간에서는 1로 수렴을 하는 것을 보일 수 있습니다. 
여기서 실수 집합 R의 일반적인 metric은 R^2를 정의역으로 갖고, R을 치역으로 갖는, 실수쌍 (a, b)에 대해서 la-bl 값을 함숫값으로 갖는 이변수 함수입니다. (그냥 고교 과정에서 쓰는 거리 함수입니다.)

일단 0.999...=1 맞습니다. 그리고 이는 사실 증명할 필요가 없는 공리, 약속입니다. (완비성 공리)

많은 사람들이 이걸 증명한다고 엡실론 델타, 무한급수 이런식으로 나눠서 증명을 하게되는데, 사실 이는 증명이라고 볼 수 없고 그저 공리에 의해 당연히 0.999...=1인 것을 불필요한 방법으로 단편적으로 보여주는 것에 불과합니다.

다시말해서 무한급수의 결과가 1이고, 엡실론 델타 논법에서 델타가 존재하니까 0.999...=1인게 아니고, 오히려 반대로 이 공리가 있기 때문에 무한급수와 엡실론 델타 논법으로 0.999...=1이라는 결론을 낼 수가 있는거죠.

즉 0.999...=1임을 증명하는 데 있어서(사실 증명할 필요가 없지만)무한급수와 엡실론 델타 논법을 논하는것은 부적절한 설명이고, "그냥 공리에 의해 그렇다." 라고 하면 될 일입니다.

아니라는 사람은 어째서 아니라는 거임?

이런거 중1 때 배웠는데
0.999999... 는 순환소수라고
그래서
   .
0.9라고 표현을 하고
이걸 분수로 표현하는데
분모를 9로 놔두고(순환마디 길이만큼)
분자에 순환마디를 올려
그럼 9/9가 됨
그러므로 0.999999... = 1 이 성립함

https://youtu.be/atbkEMOkH9s
한없이 다가간다 극한값이다 떠드는 소리 다 무시하고 이거 보샘

0.999...≠1이면 0.999...와 1사이에 또 다른 실수가 존재해야되는데 그런 실수가 없으니까 0.999...=1이다.

정확히 설명하면 0.99999999=1이지만, 아니라고 취급하는 경우가 존재. 그게 고등학교 극한 과정에서 사용하는것.