이거 아마 순환소수가 전부 유리수로 표기가 가능하다는 것만 알면 증명이 가능할텐데....

이제 이런 좀 난이도 높은 문제를, 중학교 선생님한테 질문을 해서 어떻게 푸시는지를 관찰함으로써 해당 선생님의 수준을 파악할 수 있습니다.

이거 생각보다 어렵네;;

30분간 고민한 끝에, 드디어 정확한 결론을 도출하였습니다.



전 이 문제를 못풉니다. 이만 자러가겠습니다.

그래도 좀만 길고 잘 생각해 보면 그리 어려운 문제는 아니에요. 
(이런 것보다 수능 이과 수학 30번 문제가 더 어렵죠.)

유효한 증명인지는 모르겠지만...(증명같이 수학적인것 놓은지 꽤 되어서)
유한소수가 유리수 인 건 자명(?)하니 넘어가겠습니다.
이제 자연수가 아닌 양의 유리수에서 유한 소수를 제외한 나머지 원소들이 모두 순환소수임을 증명하면 되므로 임의의 유리수 q/p를 가정하겠습니다. (q,p는 양의 자연수) 순환마디가 형성될 조건은 q의 각 부분을 p로 나누었을 때의 나머지가 같은 경우인데, 이 때 나머지의 범위는 1~p-1로 제한적이므로 순환마디를 가질수밖에 없습니다.
-> q=pn+r에서 r이 같아지는 순간이 존재 -> 순환마디
따라서 유리수는 유한소수와 순환소수로 구성되어 있습니다

십진법으로 표기하였을 때 규칙성이 없는 무한 소수면, 유리수가 아니다를 증명하면 됨.

사실 이거 정수론 문제 아님?
p/q 하고 (10^n)p/q (p,q: 주어진 정수. q는 0아님, n은 어떤 정수)의 소수부가 같으면 순환마디가 있는거니까
p mod q하고 (10^n)p mod q가 같아지거나 (10^n)p mod q가 0인 n이 존재한다를 구하면 되고,
10^n mod q가 1(아마 페르마의 소정리를 응용한 무언가) 이거나 0인 n이 존재한다를 찾으면 되겠지.