y=ax+b의 y와 x를 서로 바꿔야하니까 그러죠. 그럼 서로 반대가 되어요. 그래서 어떤 함수의 역함수의 x에 뭘 대입하라 하는거와 그 함수의 y에 대입하는거가 똑같은 결과가 나옵니다.

f(x)이라는 공정에 a라는 재료를 넣으면 b라는 물건이 나옴.
f(x)의 역함수(즉, 검사하는 과정)인 g(y)에 b라는 물건을 넣으면 a라는 재료로 분해됨.

즉, 역함수는 어떤 공정을 완벽하게 반대로 하는 거지.
a라는 재료를 넣어서 b라는 물건이 나왔으면, 반대로 b라는 물건을 검사했을때 a로 분해되어야 올바른 공정이겠지.

그런데 a라는 재료를 넣어서 b라는 물건이 나왔는데, 검사하는 과정에서 b라는 물건이 c로 분해된다면, 그것은 올바른 공정이 아님. 즉, 역함수가 아님. (b라는 물건과 a라는 재료가 일대일로 대응이 되어야하는데 그러지 못함)

더 간단히 말하면, f(x)의 역함수는, y=x의 그래프를 기준선으로 하여 접은 것임.

그냥 그게 역(逆)함수인데.... 변수와 함수값을 거꾸로 하는 함수
입력값이 a일때 b를 출력하는 함수가 있다면
역함수는 반대로 입력값이 b일때 a를 출력하는 거지

역함수가 존재한다는 건 그 함수가 전단사 함수라는 것인데, 다시말해 함수 f가 X를 Y로 사상시킬 때, 모든 Y의 원소 y에 대해서 그와 대응하는 X의 원소 x가 존재해서 y = f(x)이고 서로 다른 X의 원소 a, b에 대해 f(a)는 f(b)와 다름. 이를 거꾸로 생각하면 Y에서 X로 사상되는 함수 g가 존재하고 이것이 전단사함수여서 f•g = g•f = I(항등사상) 이면 g가 f의 역함수여서 f(a) = b이면 g(b) = a

위 댓글들이 틀린 얘기는 아닌데 이문제는 다 필요없고 양변에 f를 취하면 됨. f-1(a)=b 이므로 f(f-1(a))= f(b), 역함수의 정의에 의해 f(f-1(a))=a이므로 a=f(b).