원글:

고전역학(1)
https://arca.live/b/physics/501020?p=1

왜인지는 모르겠는데 밥먹고와보니 뜬금없이 이전글이 오늘의 라이브에 올라가버리는바람에 수정을 할수가 없음. 그래서 아까 못쓴 추가설명을 위해 따로 글올려봄.

-----시작-----

이전글 끝자락에서 좌표계를 회전시키는걸 행렬곱으로 표현할 수 있다고 했는데 여기에 대해 부연설명을 좀 하겠음. 회전변환도 기하와 벡터에 나오는걸로 알고있는데 이미 배운내용이면 이전글과 마찬가지로 그냥 내용정리 본다고 생각하고 읽으면됨.

먼저 좌표계는 벡터들을 가지고 정의할수 있음. 예를들자면 데카르트 좌표계에서 각 좌표축은 길이가 같고 서로 선형독립적인 벡터 [e_i], [e_j], [e_k]를 가지고 정의함. 그렇기때문에 좌표계의 변환은 곧 좌표계를 정의하는 벡터들의 변환이라고 생각할 수 있음.

참고로 x,y,z가 서로 선형독립이면 x를 y와 z의 1차방정식으로 나타낼 수 없다는 뜻 (즉 x = ay + bz를 만족하는 a,b가 존재하지 않음).

자, 이제 좌표계를 회전시켜서 새로운 좌표계를 얻어보겠음. 단위벡터 [e_i], [e_j]로 정의된 두 축 (x,y)를 가진 2차원 직교좌표계 S가 있다고 가정함. S를 시계방향으로 90도 회전시키면 새 단위벡터 [e'_i],[e'_j]로 정의된 두 축 (x',y')를 가진 직교좌표계 S'가 됨. 그림으로 보면

이런느낌임. 좌표계 그리면서 잊어버리고 안써줬는데 왼쪽이 S고 오른쪽이 S'임. 이제 새로 얻은 좌표계 S'와 기존에 있던 좌표계 S사이의 관계를 나타내자면

                                                   (1.4)

라는 연립방정식이 성립함. 반대로

                                                (1.5)
 

로 써도 치환해보면 같은 방정식이라는걸 알 수 있음. 그런데 행렬곱과 연립방정식의 관계를 배웠다면 바로 보일텐데 이 두 연립방정식을 행렬로 표현할 수 있음.

                                 (1.6)

                                (1.7)

좌표계 x,y를 시계방향으로 회전시키면 x',y'를 얻으니 (1.6)은 우리가 원하는 변환 (시계방향으로 90도 돌리기)을 표현하는 행렬방정식이 됨. 반대로 x',y'를 반시계방향으로 90도 회전시키면 x,y를 얻으니 (1.7)은 거기에 해당하는 행렬방정식이 됨. 따라서 좌표계를 회전시켜서 새로운 좌표계를 얻어내는 변환과정은 행렬곱으로 표현할 수 있음.

사족으로 행렬을 이용해 변환을 나타낼때 행렬을 F랑 B로 표기하는데 (특히 나중에 텐서배울때), 이건 좌표계나 벡터의 변환에서 정변환 (F: Forward Transformation)과 역변환 (B: Backward Transformation)을 의미하기때문임.

물론 이전글에서 보여준 변환들 모두 사실 행렬을 이용해 표현하는게 가능한데 이건 나중에 텐서에 관한 내용까지 가게되면 어차피 짚고넘어가야되니 그때 설명하겠음.

참고로 분석기하학 배울때 3차원 공간에서 직교좌표계 <-> 원통좌표계 <-> 구면좌표계 변환하는거 많이 해볼텐데 이때의 좌표계 변환도 행렬로 표현함.