미분형식 = tangent vector를 받으면 숫자를 돌려주는 linear functional (더 정확히는 dual bundle의 section)
기본적인 다변수해석 + 위상 공부하고 미다체 공부하면 됨 (e.g. Spivak vol 1)
근데 물리에서 쓰는 노테이션 엄밀하게 쓰겠다고 이거 다 공부하는건 매우 높은 확률로 시간낭비가 될 거라는 것 정도는 각오하는 게 좋음

미분 연산자(d/dλ)가 벡터임

쉽게 말하자면, 물리에서 물리량들 사이에 어떤 관계식을 만족한다는 것은 기하학적으로는 그 관계식이 정의하는 곡선/곡면/초곡면을 고려한다는 것을 뜻합니다. 즉, 이러한 곡면 위에서 미적분을 해야 한다는 얘기죠.

그런데 기본적으로 미분은 해당하는 대상의 관심있는 지점 근방을 매우 크게 확대해놓고 작업하는 과정입니다. 그리고 이렇게 크게 확대해보면, 마치 개미가 지구의 곡률을 못 느끼듯이 그냥 평평한 공간 - 즉 선형공간 - 처럼 보이게 되죠. 그리고 이 선형공간을 다루려면 벡터가 필요합니다. 그래서 벡터가 나오고 선형대수를 쓰고 샤바샤바 하는 거죠.

그리고 물리쪽이라면, dq, dm 같은 건 정말로 주어진 두 "점" 사이에서의 q, m 각각의 미소변화량으로 이해하셔도 충분합니다. 이걸 covector니 differential form이니 뭐니 하는 걸로 이해하는 건 감을 잡은 후에 해도 충분합니다.

그러면 궁금한 것은 예컨대 미분방정식

y dx = (x + y + 1) dy

같은 '미소변화량 사이의 등호'가 뭘 의미하냐 하는 점인데, 이렇게 생각하시면 됩니다.

xy 평면상의 각 점 (x, y) 의 아주 작은 근방을 생각해보세요. 그러면 이 점 근처의 또 다른 점 (x+dx, y+dy) 를 생각할 때, 앞서의 방정식은 dx 와 dy 에 대한 일차방정식이 되므로 어떤 직선(의 일부)를 그릴 것입니다. 물론 우리는 매우 작은 dx, dy 만 고려하고 있으므로, 이 직선의 전체가 아닌 (x, y) 근처에 해당하는 부분, 즉 미소 선분만 보게 되겠지요. 이제 이런 미소 선분들을 각 점마다 그려놓고 멀리서 보면, 적당한 미소 선분들이 서로 이어져 하나의 곡선을 그리는 것처럼 보일 것입니다. (그리고 그러한 곡선들이 무수히, 켜켜이 쌓여있는 것처럼 보일 것입니다.)

즉 미소변화량 사이의 방정식을 푼다는 것은 이렇게 작은 선분들을 이어 얻어지는 곡선을 찾는 것을 뜻합니다.