https://arca.live/b/maths/1083731

군에 대한 상세한 설명은 위 링크를 타고 들어가면 된다.

위 링크에도 잘 설명되어 있지만 아래 성질을 만족하면 다 군이다.

어떤 집합이 한 연산에 대하여

1. 닫혀 있다.

   (연산의 결과가 원래 집합에 속해 있다는 뜻. 가령 1-2=-1은 자연수에 속하지 않으므로 자연수는 덧셈에 대해 닫혀있지 않음)

2. 결합법칙이 성립한다.

3. 항등원이 존재한다.

4. 역원이 존재한다.

정수는 덧셈군이 되고, 유리수도 덧셈군이 된다.

그런데 정수든 유리수든 곱셈을 생각해보면 0의 역원이 존재하지 않으므로 군이 안 된다.

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그런데 연산 하나만 가지고 놀자니 얼마나 심심한가. 여기에 곱셈도 추가해보자.

곱셈도 추가하니 당연히 조건이 몇 개 더 추가될 것이다. 편의상 덧셈과 곱셈이라고 하겠다.

1. 덧셈에 대하여 닫혀 있다.

2. 덧셈에 대하여 결합법칙이 성립한다.

3. 덧셈에 대하여 항등원이 존재한다.

4. 덧셈에 대하여 역원이 존재한다.

여기까지는 군이랑 똑같다. 이제 여기서 추가된다.

5. 덧셈에 대하여 교환법칙이 성립한다.

6. 곱셈에 대하여 닫혀 있다.

7. 곱셈에 대하여 결합법칙이 성립한다.

8. 분배법칙이 성립한다.

이런 8개의 성질을 만족하는 집합을 환(環, ring)이라고 부른다.

곱셈에 대하여는 교환법칙이 성립하지 않아도 되고, 항등원 역원이 없어도 된다는 점에 주의하자.

덧셈에 비해서는 훨씬 널널한 조건이다.

아마 현대대수 교재를 보면 곱셈에 대한 항등원 1을 포함하는 경우에는 ring with identity라는 말을 쓸 것이다.

왜냐, 원래 환에는 1이 없어도 되거든...

그리고 교환법칙이 성립하는 환은 특별히 가환환, abelian이라고 따로 부른다. 교환법칙이 성립하는 군을 가환군, abelian이라 부르는 걸 생각해보면 된다.

그러면 뭐가 환이 되는지 살펴보자.

정수 집합 Z는 환이 된다. 왜 되는지는 뭐 금방 알 수 있을 것이다.

생각해보자.

2Z={..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}는 환이 될까? O

3Z+1={..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}는 환이 될까? X(덧셈에 대한 항등원이 없다)

다항식의 집합은 환이 될까? O

2x2 행렬은 환이 될까? O(흔히 생각할 수 있는 비가환군이다)

환에도 여러 가지 기본적인 성질들이 있지만 넘어가자.

참고) 원래 환에서의 항등원과 부분환에서의 덧셈에 대한 항등원은 같지만, 곱셈에 대한 항등원은 다를 수 있다.

예를 들어 Z6={0, 1, 2, 3, 4, 5}의 곱셈에 대한 항등원은 1이지만, 2Z6={0, 2, 4}의 곱셈에 대한 항등원은 4다.

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환은 아무래도 곱셈이 추가되니까 좀 더 생각할 거리가 많다.

Z12={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}를 생각해보자.

이게 뭐냐, 어떤 수를 12로 나눈 나머지들의 집합이라고 보면 된다. 더 쉽게 말하면 시계에 있는 숫자들이라고 보면 된다.

7+6=13=1 뭐 이런 거 어디선가 본 적이 있을 것이다.

이 집합, 자세히 보니까 3*4=12=0이다. 0에도 약수가 있다.

또 자세히 보니까 5*5=1이다. 1에도 약수가 있다!

이렇게 0의 약수가 되는 수, 정확히는 0이 아닌 원소를 곱해서 0을 만들 수 있는 것을 우리는 영인자(zero divisor)라고 부르고

1의 약수가 되는 수, 그러니까 뭘 곱해서 1을 만들 수 있는 것을 우리는 단원(unit)이라고 부른다.

사실 이렇게 Zn의 경우에는 n과 서로소이면 unit이 되고, 아니면 zero divisor이 된다는 것을 금방 알 수 있다.

가령 Zn의 원소 a를 생각했을 때 gcd(a,n)=d라고 한다면 a=bd, n=cd이니까, ac=bcd=bn=0이 될 것임을 금방 알 수 있다.

그러면 a에 c를 곱하면 0이 되니까 당연히 a는 zero divisor이다.

반면 a와 n이 서로소라고 생각해보자. 그러면 유클리드 호제법에 의해 ap+nq=1이 되는 p, q를 찾을 수 있다.

이걸 mod n을 취하면(n으로 나눈 나머지를 취하면) ap=1 (mod n)이 되므로 a는 unit이 됨을 확인할 수 있다.

그러면 Z에서 zero divisor와 unit은 무엇이 있을까?

0이 아닌 수를 곱해서 0을 만들 수 있는 수는 0밖에 없으니 zero divisor는 오직 0뿐이다.

어떤 수를 곱해서 1을 만들 수 있는 수는 1, -1밖에 없으니 unit은 오직 {1, -1}이다.

그리고 우리는 이렇게 정수의 성질을 가지는 환, zero divisor가 0밖에 없는 환을 따로 정역(integral domain)이라고 부른다.

여기서 정리 하나를 설명하고 넘어가자.

정리) zero divisor이면서 unit일 수는 없다.

증명) a가 zero divisor이면서 unit이라고 하자. 그러면 au=0, av=1인 u, v를 생각할 수 있다.

그러면 uav=(ua)v=0*v=0, uav=u(av)=u*1=u, 따라서 u=0이므로 모순.

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편의상 덧셈에 대한 항등원을 0, 곱셈에 대한 항등원을 1이라고 하겠다.

여기까지 왔으면 이제 마지막으로 체를 정의할 수 있다.

1을 가진 환 중에서 0이 아닌 원소가 모두 unit인 환을 우리는 체(體, field)라고 부른다.

그럼 Z는 체인가? 2의 곱셈에 대한 역원이 없으므로 체가 아니다.

그럼 Q는 체인가? 0 빼고 아무 유리수 데리고 와도 그거 뒤집어서 곱하면 1이 된다. 당연히 체가 된다.

체는 쉽게 말하면 유리수라고 보면 된다.

그러면 마지막으로 좋은 정리 하나 소개하겠다.

정리)유한한 원소를 가진 정역은 체이다.

증명)정역 S의 0이 아닌 원소 a를 생각해보자. 그리고 f:S→S, f(x)=ax인 함수 f를 생각해보자.

그러면 만약에 ax=ay인 x, y가 있다면 a(x-y)=0인데, S가 정역이니까 x-y=0, 즉 x=y이므로 f는 단사함수(일대일함수)이다.

x^2마냥 같은 원소에 화살표 여러개가 박히는 일이 없고, 당연히 화살표 못 받는 공역의 원소도 없을 테니 1에도 화살표가 누군가는 간다.

즉, ax=1이 되는 원소가 존재하므로 a는 unit이 된다. 그럼 이게 뭐냐. 체의 조건을 다 만족하니까 체가 된다.

그러면 Z5, Z11, Z13같이 Zp(p는 소수)같은 아이들은 zero divisor가 없는 환(a*b=p 되는 0 아닌 a, b 있음?)이니까 정역이고,

이 집합의 원소는 p개밖에 없으니까 유한이다. 결국 Zp는 모조리 체라는 결론이 나온다.

군, 환, 체는 이런 아이들이다.

사실 말이 길고 거창했지 이거 사실 다 우리가 알고 있는 수 체계를 추상화시킨 애들이다.

그리고 학부에서 배우는 현대대수학의 종착지에 다다르면, 군과 체가 어떻게 얽히는지 알게 된다.

그 단계까지 가면 갈루아가 ㄹㅇ 희대의 미친 새끼라는 것도 알게 된다ㅋㅋㅋ

일단 현대대수 맛보기는 여기까지 줄인다.

이거 쓰는데 1시간 넘게 걸렸으니 2편은 언제 쓸 지 모르겠다.