원래 좀 더 주제를 나아가려고 했는데, 이 내용은 확실하게 짚고 넘어가야 할 것 같아서 따로 글을 씁니다.
글을 쓰다보니 주제가 방대한 건 아닌데 양이 은근히 좀 되네요.
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{1,2,3,4}라는 집합을 하나 데리고 옵시다. 그리고 이를 다시 {1,2,3,4}로 보내는 사상을 생각해봅시다.
그러니까 {1,2,3,4}에서 {1,2,3,4}로 화살표를 쏘는 겁니다. 단, 같은 놈에게로 화살표를 쏘면 안 됩니다. 일대일대응을 준다는 뜻이죠.
예를 들어 1→3, 2→1, 3→4, 4→2도 있고, 1→2, 2→4, 3→1, 4→3도 있고 등등등 있겠죠? 그러면 얘네들을 다 모으면 군이 될까요?
당연히 됩니다! 조건들을 하나하나 따져볼까요?
1. 닫혀 있다. 설명할 필요도 없겠죠?
2. 결합법칙이 성립한다. 함수는 결합법칙이 성립하니까 역시 성립입니다.
3. 항등원이 존재한다. 자기자신으로 보내는 게 항등원이 되겠죠?
4. 역원이 존재한다. 어떤 애를 데려오든 그거 거꾸로 하면 됩니다.
따라서 군이 되고요, 원소의 개수는 화살표 보내는 가짓수니까 n!개가 될 겁니다(조금만 생각해보면 왜 그런지 알 수 있습니다)
이런 군들을 대칭군(Symmetric group)이라 부르고, 이렇게 4개 원소로 된 대칭군은 S4라고 부릅니다.
{1,2,3}으로 만들어진 대칭군은 S3겠죠?
참고로 위에서 예로 든 1→3, 2→1, 3→4, 4→2는 보통 (1 3 4 2)로 표시합니다.
1→2, 2→4, 3→1, 4→3는 (1 2 4 3}으로 표시하고요.
그럼 1→1, 2→2, 3→4, 4→3는 어떻게 표시하냐 하면 1,2는 자기자신으로 가고 3은 4로 가니 (3 4)라고 표시하고
1→1, 2→2, 3→3, 4→4는 간단하게 (1)로 표시합니다.
1→2, 2→1, 3→4, 4→3은 (1 2)(3 4)로 표시할 수 있겠네요.
그리고 얘네들을 (1 2)같이 길이 2짜리 애들로 나눠서 표현해봅시다. 이런 걸 호환이라 부릅니다.
예를 들어 (1 2 4 3)은 (1 3)(1 4)(1 2)으로 표시되겠고, (1)은 (1 2)(1 2)로 표현될 수 있겠습니다.
어떤 치환도 짝수 개의 호환과 홀수 개의 호환으로 동시에 표현될 수 없고, 양쪽의 개수가 같다는 사실은 너무 당연해보이니 증명은 생략하겠습니다.
그러면 이것을 기준으로 Sn의 부분군을 만들 수 있겠는데요,
항등원 (1)은 포함해야 하니까 짝수 개의 호환으로 표현되는 것들을 전부 모아봅시다. 원소 개수가 4!=24개인 S4를 예를 들어보면
{(1), (1 2 3), (1 2 4), (1 3 2), (1 3 4), (1 4 2), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}니까 원소가 12개 맞네요.
이런 군을 교대군(Alternative group)이라고 부르고, An으로 표현합니다. 위와 같은 경우는 A4가 되겠네요.
그리고
(1 2)(1 3)과 (1 3)(1 2)는 같은 애가 아니니까 Sn은 당연히 비가환이고요, An도 마찬가지로 비가환입니다.
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대칭군을 살펴보면서 좀 더 들여다봐야 할 대상이 있는데요, 이번엔 사각형을 생각해봅시다.
그리고 사각형의 각 꼭짓점에 1,2,3,4 번호를 매겨봅시다. 왠지 모르게 S4가 생각납니다.
그리고 이걸 돌리거나 뒤집으면 숫자들이 어디로 옮겨지는지를 생각해봅시다.
예를 들어서
2 1
3 4
이렇게 생긴 사각형을 돌리고 뒤집고 해보면
90도 돌리면 (1 2 3 4), 180도 돌리면 (1 3)(2 4), 270도 돌리면 (1 4 2 3)
x축 대칭하면 (1 4)(2 3), y축 대칭하면 (1 2)(3 4), y=x 대칭하면 (2 4), y=-x 대칭하면 (1 3)이 될 수 있음을 알 수 있습니다.
이렇게 만들어진 {(1), (1 3), (2 4), (1 2 3 4), (1 4 2 3), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}은 군이 되고요
이를 이면군(Dihedral group)이라고 부르고 이 경우에는 D4라고 표현합니다.
돌리고 뒤집는 거랑 뒤집고 돌리는 건 다른 거니까 얘도 앞서 말한 대칭군처럼 비가환군입니다.
이 때 |Dn|, 즉 Dn의 원소의 개수는 2n이 됩니다.
원소 8개인 군 중에는 사원수군이라고 비가환이 또 있긴 한데... 뭐 굳이 말 안해도 이후 전개에 지장은 없겠죠.
참고로 모든 군은 Sn의 부분군이 되는데, 정리 증명은 생략하겠습니다.
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군 소개하는 곳에서 짧게 언급하지 않고 이렇게 길게 쓴 이유는 이것이 정말 중요한 군이기 때문입니다.
학부에서 하는 현대대수학은 정말 한 편의 이야기같아서 지금 하는 것들이 다 나중을 위한 복선이 됩니다.
그 과정을 천천히 즐길 수 있으면 좋겠네요:D
근데 쓰는 데 2시간 걸렸습니다ㅋㅋㅋㅋ
아 점심먹고 위상 복습하러 가야지
위상 2주차만에 골 떄리던데 큰일났다
